Defina a derivada de uma função
num ponto
. Interprete-a. E em seguida calcule
, pela definição, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que está sendo pedido aqui é que a gente defina o que é a derivada de uma função
em um ponto
, dê uma interpretação disso e depois calcule a derivada da função
no ponto
usando essa definição. Estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de derivada e sua definição formal.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de
em
, denotada por
, representa a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está crescendo ou decrescendo em
.
Matematicamente, a derivada é definida pela seguinte fórmula:
Essa expressão representa o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos interpretar isso. Imagine que
é a posição de um carro ao longo do tempo
. A derivada
nos daria a velocidade instantânea do carro naquele instante
. É como se estivéssemos medindo quão rápido a posição está mudando naquele ponto específico.
Passo 4
Vamos agora calcular
para a função
usando a definição da derivada.
Primeiro, substituímos
na fórmula da derivada:
Passo 5
Para resolver esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar. A conjugada de
é
.
Passo 6
Multiplicando os termos, temos:
Simplificando
no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, substituímos
por 0:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é: