Defina a derivada de uma função num ponto . Interprete-a. E em seguida calcule , pela definição, para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que está sendo pedido aqui é que a gente defina o que é a derivada de uma função em um ponto , dê uma interpretação disso e depois calcule a derivada da função no ponto usando essa definição. Estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de derivada e sua definição formal.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de em , denotada por , representa a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está crescendo ou decrescendo em .
Matematicamente, a derivada é definida pela seguinte fórmula:
Essa expressão representa o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos interpretar isso. Imagine que é a posição de um carro ao longo do tempo . A derivada nos daria a velocidade instantânea do carro naquele instante . É como se estivéssemos medindo quão rápido a posição está mudando naquele ponto específico.
Passo 4
Vamos agora calcular para a função usando a definição da derivada.
Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:
Passo 5
Para resolver esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar. A conjugada de é .