Defina a derivada de uma função num ponto . Interprete-a. E em seguida calcule , pela definição, para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que está sendo pedido aqui é que a gente defina o que é a derivada de uma função em um ponto , dê uma interpretação disso e depois calcule a derivada da função no ponto usando essa definição. Estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de derivada e sua definição formal.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de em , denotada por , representa a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está crescendo ou decrescendo em .
Matematicamente, a derivada é definida pela seguinte fórmula:
Essa expressão representa o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos interpretar isso. Imagine que é a posição de um carro ao longo do tempo . A derivada nos daria a velocidade instantânea do carro naquele instante . É como se estivéssemos medindo quão rápido a posição está mudando naquele ponto específico.

Passo 4

Vamos agora calcular para a função usando a definição da derivada.
Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:

Passo 5

Para resolver esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar. A conjugada de é .

Passo 6

Multiplicando os termos, temos:
Simplificando no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, substituímos por 0:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

Exercícios relacionados

A velocidade da luz é . Calcule o número de segundos em um ano e escreva a resposta em notação científica;
Seja
é contínua em ? E em ? Justifique.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Seja
é derivável em ? E em ? Justifique.