Seja f(x) = { 0, se x <= 0, 5 - x, se 0 < x < 4, 1 / (5 - x), se x >= 4 }
f é derivável em x = 0 ? E em x = 4 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e queremos saber se ela é derivável nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de derivabilidade e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em um ponto se ela tiver uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da função for bem definida ali. Para que isso aconteça, a função precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais (da esquerda e da direita) devem existir e ser iguais.

Passo 3

Vamos começar verificando a derivabilidade em . Olhando para a função:
Para , a função é constante, então a derivada é 0. Para , a função é , cuja derivada é -1.

Passo 4

Agora, vamos ver as derivadas laterais em :
  • Derivada pela esquerda ( ): A função é 0, então a derivada é 0.
  • Derivada pela direita ( ): A derivada de é -1.
Como as derivadas laterais são diferentes (0 ≠ -1), a função não é derivável em .

Passo 5

Vamos agora verificar em . Para , a função é . Primeiro, precisamos checar se a função é contínua em .
Calculando o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda:
E pela direita:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em :
  • Derivada pela esquerda ( ): A derivada de é -1.
  • Derivada pela direita ( ): A derivada de é .
A derivada pela direita, quando se aproxima de 4, torna-se:
Então, as derivadas laterais são -1 e 1, que são diferentes.

Resposta

A função não é derivável nem em nem em , pois, em ambos os pontos, as derivadas laterais não são iguais.

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