Seja f(x) = { 0, se x <= 0, 5 - x, se 0 < x < 4, 1 / (5 - x), se x >= 4 }
f é contínua em x = 0 ? E em x = 4 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é contínua em e . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto pelo lado esquerdo e pelo lado direito é igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular esses limites e comparar com o valor da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade em . A função está definida assim:
Passo 2.1: Calculando o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como para , , então:
Passo 2.2: Calculando o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Para , , então:
Passo 2.3: Verificando o valor da função em :
Análise: Os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita) e não coincidem com o valor da função em . Portanto, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em .
Passo 3.1: Calculando o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):
Para , , então:
Passo 3.2: Calculando o limite quando se aproxima de 4 pela direita ( ):
Para , . Quando se aproxima de 4, temos:
Passo 3.3: Verificando o valor da função em :
Análise: Todos os limites laterais e o valor da função em são iguais a . Portanto, a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em e é contínua em .

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