Defina derivada de uma função h em um ponto d pertence a R e a represente geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos a derivada de uma função em um ponto real e mostrar isso geometricamente. Estamos falando de cálculo diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada, como calcular e como representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. Em outras palavras, ela nos diz quão rápido a função está mudando naquele ponto.

Passo 3

A definição matemática da derivada de em é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo de variação se aproxima de zero. Isso é representado por:
Aqui, é a derivada de em , e esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva de em .

Passo 4

Agora, para representar isso geometricamente, imaginamos o gráfico da função . No ponto , traçamos a reta tangente que toca a curva exatamente nesse ponto. A inclinação dessa reta é exatamente a derivada . Essa reta mostra como a função está “subindo” ou “descendo” naquele ponto específico.

Resposta

A derivada da função no ponto é definida por
geometricamente, ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

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