Defina derivada de uma função
em um ponto
e a represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos a derivada de uma função
em um ponto
real e mostrar isso geometricamente. Estamos falando de cálculo diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada, como calcular e como representá-la graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. Em outras palavras, ela nos diz quão rápido a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
A definição matemática da derivada de
em
é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo de variação se aproxima de zero. Isso é representado por:
Aqui,
é a derivada de
em
, e esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva de
em
.
Passo 4
Agora, para representar isso geometricamente, imaginamos o gráfico da função
. No ponto
, traçamos a reta tangente que toca a curva exatamente nesse ponto. A inclinação dessa reta é exatamente a derivada
. Essa reta mostra como a função está “subindo” ou “descendo” naquele ponto específico.
Resposta
A derivada da função
no ponto
é definida por
geometricamente, ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.