A partir da Equação (1), obtenha as Equações (2), (3) e (4).
jA = -rho DAB ∇ wA
JA* = -C DAB ∇ xA
NA = xA (NA + NB) - c DAB ∇ xA = cA v* - c DAB ∇ xA
c(v_A + v_B) = -c D_{AB} / (x_A x_B) ∇ x_A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para a gente, a partir de uma equação inicial, derivar mais três equações relacionadas. Esse tipo de problema está na área de transporte de massa, onde estudamos como as substâncias se movem de um lugar para outro. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo de massa, coeficiente de difusão e gradiente de concentração. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a Equação (1) que a gente tem:
y = sen(x^2)
Aqui, y = sen(x^2) é o fluxo de massa da espécie A, y = sen(x^2) é a densidade, y = sen(x^2) é o coeficiente de difusão entre A e B, e é o gradiente de potencial químico de A.
Para chegar na Equação (2), precisamos expressar o fluxo de massa em termos do gradiente de fração molar . Sabemos que o potencial químico está relacionado ao gradiente de concentração pela seguinte relação:
Onde é a constante dos gases e é a temperatura.

Passo 3

Substituindo essa relação na Equação (1), temos:
y = sen(x^2)
Aqui, estamos conectando o fluxo de massa com o gradiente de fração molar. Agora, vamos simplificar isso para chegar na Equação (2).

Passo 4

Vamos definir y = sen(x^2), que é uma constante que envolve densidade, constante dos gases, temperatura e a fração molar de A. Substituindo isso, a equação fica:
y = sen(x^2)
Essa é exatamente a Equação (2) que queríamos obter!

Passo 5

Agora, para a Equação (3), vamos considerar a conservação de massa. A taxa de produção de A, y = sen(x^2), está relacionada à soma das taxas de produção das espécies A e B e ao fluxo de massa. Matematicamente, temos:
y = sen(x^2)
Aqui, é a concentração total, e é a velocidade de transporte relativa.

Passo 6

Organizando a equação acima, podemos isolar y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Isso nos dá a Equação (3), relacionando a taxa de produção de A com a velocidade de transporte e o gradiente de fração molar.

Passo 7

Finalmente, para chegar na Equação (4), vamos considerar as velocidades das espécies A e B. Sabemos que a soma das velocidades é proporcional ao fluxo de massa. Assim, temos:
y = sen(x^2)
Essa relação mostra como as velocidades individuais das espécies estão conectadas ao gradiente de fração molar e ao coeficiente de difusão.

Resposta

Derivamos as seguintes equações a partir da Equação (1):
  1. Equação (2):
    y = sen(x^2)
  2. Equação (3):
    y = sen(x^2)
  3. Equação (4):
    y = sen(x^2)
Pronto! A gente conseguiu derivar as três equações utilizando conceitos de transporte de massa e relações entre fluxo, gradientes e velocidades.

Exercícios relacionados

<html><head></head><body><div>Defina derivada de uma função <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.303ex” height=“1.595ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 576 705”><title>h</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> em um ponto <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.09ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.576ex” height=“1.661ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 2464.6 734”><title>d pertence a R</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(797.8,0)”><path data-c=“2208” d=“M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1742.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“211D” d=“M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> e a represente geometricamente.</div>
</body></html>
Tiago e Jonas associaram-se para montarem um negócio, cada um entrou com R e e, respectivamente. Se perderam R$ 8000,00, no primeiro trimestre, qual será o prejuízo que caberá a cada um?
(5) Calcule diretamente a integral de linha , na qual c é o círculo x^2 + y^2 = a^2 percorrido no sentido anti-horário.
  • Resposta : -2 pi
(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)).
(a) Mostre que .