(5) Calcule diretamente a integral de linha , na qual c é o círculo percorrido no sentido anti-horário.
  • Resposta :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Como a equação é , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo , , e na integral original:
Simplificando o numerador:
Então, a integral fica:

Resposta

Exercícios relacionados

A partir da Equação (1), obtenha as Equações (2), (3) e (4).



Defina derivada de uma função em um ponto e a represente geometricamente.
(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial .
(a) Mostre que .
(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial .
(b) Nesse caso temos um campo vetorial , onde . No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.