(5) Calcule diretamente a integral de linha oint-c x d y-y d xx^2+y^2, na qual c é o círculo x^2+y^2=a^2 percorrido no sentido anti-horário.
  • Resposta : -2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x = a cos theta . Como a equação é y = a sin theta , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dx = -a sin theta, dtheta e dy = a cos theta, dtheta em relação a :

Passo 4

Substituindo oint-c x, dy - y, dxx^2 + y^2 = integral0^2pi a cos theta cdot a cos theta, dtheta - a sin theta cdot (-a sin theta), dthetaa^2 , a^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta = a^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = a^2 , integral0^2pi a^2a^2, dtheta = integral0^2pi 1, dtheta = 2pi e na integral original:
Simplificando o numerador:
Então, a integral fica:

Resposta

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