(5) Calcule diretamente a integral de linha
, na qual c é o círculo
percorrido no sentido anti-horário.
- Resposta :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo
. Como a equação é
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral original:
Simplificando o numerador:
Então, a integral fica:
Resposta
Exercícios relacionados
A partir da Equação (1), obtenha as Equações (2), (3) e (4).
Defina derivada de uma função
em um ponto
e a represente geometricamente.
(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial
.
(a) Mostre que .
(a) Mostre que
(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial
.
(b) Nesse caso temos um campo vetorial , onde
. No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.
(b) Nesse caso temos um campo vetorial