Defina/Faça ^1 Seja G=A B^2+AC+D, sendo [G]=m / s^2. Encontre as unidades de A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação onde $ G = A B^{2} + \frac{A}{C+D} $ e nos informa que a unidade de $ G $ é $ m/s^{2} $. Nosso objetivo é descobrir as unidades das variáveis $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a garantir que todos os termos da equação tenham unidades consistentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da equação separadamente. Sabemos que a soma de dois termos deve ter a mesma unidade. Então, tanto $ A B^{2} $ quanto $ \frac{A}{C+D} $ devem ter a mesma unidade que $ G $, que é $ m/s^{2} $.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: $ A B^{2} $. Queremos que:
A B^2
Aqui, $ [A] $ representa a unidade de $ A $ e $ [B] $ a unidade de $ B $.

Passo 4

Agora, olhemos para o segundo termo: $ \frac{A}{C+D} $. Como $ C $ e $ D $ estão sendo somados, eles devem ter a mesma unidade. Então, a unidade de $ C $ é igual à unidade de $ D $, ou seja, $ [C] = [D] $.

Passo 5

Para o segundo termo, temos:
[A][C] = m/s^2
Podemos rearranjar isso para encontrar $ [A] $:
[A]

Passo 6

Agora, substituímos $ [A] $ na equação do primeiro termo:
[A]
Simplificando:
(m/s^2 times [C]) times [B]^2 = m/s^2
Isso implica que:
[C][B]^2 = 1
[B]^2 = 1[C]

Passo 7

Escolhemos uma unidade conveniente para $ [C] $ para simplificar. Vamos assumir que $ [C] $ é $ m^{-1} $ (inverso de metros). Então:
[C]

Passo 8

Agora, voltando para $ [A] $:
[A]

Passo 9

Recapitulando, encontramos:
  • $ [A] = 1/s^{2} $
  • $ [B] = m^{1/2} $
  • $ [C] = m^{-1} $
  • Como $ [C] = [D] $, então $ [D] = m^{-1} $

Resposta

As unidades das variáveis são:
  • $ [A] = 1/s^{2} $
  • $ [B] = m^{1/2} $
  • $ [C] = m^{-1} $
  • $ [D] = m^{-1} $

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