Defina/Faça
Seja
, sendo
. Encontre as unidades de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação onde $ G = A B^{2} + \frac{A}{C+D} $ e nos informa que a unidade de $ G $ é $ m/s^{2} $. Nosso objetivo é descobrir as unidades das variáveis $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a garantir que todos os termos da equação tenham unidades consistentes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo da equação separadamente. Sabemos que a soma de dois termos deve ter a mesma unidade. Então, tanto $ A B^{2} $ quanto $ \frac{A}{C+D} $ devem ter a mesma unidade que $ G $, que é $ m/s^{2} $.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro termo: $ A B^{2} $. Queremos que:
Aqui, $ [A] $ representa a unidade de $ A $ e $ [B] $ a unidade de $ B $.
Passo 4
Agora, olhemos para o segundo termo: $ \frac{A}{C+D} $. Como $ C $ e $ D $ estão sendo somados, eles devem ter a mesma unidade. Então, a unidade de $ C $ é igual à unidade de $ D $, ou seja, $ [C] = [D] $.
Passo 5
Para o segundo termo, temos:
Podemos rearranjar isso para encontrar $ [A] $:
Passo 6
Agora, substituímos $ [A] $ na equação do primeiro termo:
Simplificando:
Isso implica que:
Passo 7
Escolhemos uma unidade conveniente para $ [C] $ para simplificar. Vamos assumir que $ [C] $ é $ m^{-1} $ (inverso de metros). Então:
Passo 8
Agora, voltando para $ [A] $:
Passo 9
Recapitulando, encontramos:
- $ [A] = 1/s^{2} $
- $ [B] = m^{1/2} $
- $ [C] = m^{-1} $
- Como $ [C] = [D] $, então $ [D] = m^{-1} $
Resposta
As unidades das variáveis são:
- $ [A] = 1/s^{2} $
- $ [B] = m^{1/2} $
- $ [C] = m^{-1} $
- $ [D] = m^{-1} $