Defina limite de uma sequência;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o limite de uma sequência. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sequências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência e como determinar o seu limite quando ela tende a um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência. Uma sequência é simplesmente uma lista ordenada de números, como
, onde cada
é o termo da sequência na posição
.
Passo 3
Agora, sobre o limite de uma sequência. O limite é o valor que os termos da sequência se aproximam à medida que
(a posição na sequência) aumenta indefinidamente. Em outras palavras, queremos saber para qual número a sequência está “indo”.
Passo 4
Para definir isso matematicamente, usamos a seguinte definição:
Uma sequência
tem limite
se, para todo número pequeno
, existe um número
tal que para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Em fórmula, isso fica:
Passo 5
Vamos quebrar isso: basicamente, isso significa que podemos fazer os termos da sequência tão próximos de
quanto quisermos, basta escolhermos um
suficientemente grande. Não importa o quão pequeno seja o
(a distância que queremos do limite), sempre há um ponto na sequência além do qual todos os termos estão dentro dessa distância de
.
Passo 6
Essa definição formal ajuda a garantir que a sequência realmente se aproxima de
e não apenas de algum valor próximo. É uma maneira precisa de dizer que
é realmente o limite da sequência.
Resposta
O limite de uma sequência é o valor
ao qual os termos da sequência se aproximam indefinidamente à medida que a posição
na sequência cresce. Formalmente, dizemos que
se, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
, a diferença
é menor que
.