Defina limite de uma sequência;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o limite de uma sequência. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sequências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência e como determinar o seu limite quando ela tende a um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência. Uma sequência é simplesmente uma lista ordenada de números, como , onde cada é o termo da sequência na posição .

Passo 3

Agora, sobre o limite de uma sequência. O limite é o valor que os termos da sequência se aproximam à medida que (a posição na sequência) aumenta indefinidamente. Em outras palavras, queremos saber para qual número a sequência está “indo”.

Passo 4

Para definir isso matematicamente, usamos a seguinte definição:
Uma sequência tem limite se, para todo número pequeno , existe um número tal que para todo , a distância entre e é menor que . Em fórmula, isso fica:

Passo 5

Vamos quebrar isso: basicamente, isso significa que podemos fazer os termos da sequência tão próximos de quanto quisermos, basta escolhermos um suficientemente grande. Não importa o quão pequeno seja o (a distância que queremos do limite), sempre há um ponto na sequência além do qual todos os termos estão dentro dessa distância de .

Passo 6

Essa definição formal ajuda a garantir que a sequência realmente se aproxima de e não apenas de algum valor próximo. É uma maneira precisa de dizer que é realmente o limite da sequência.

Resposta

O limite de uma sequência é o valor ao qual os termos da sequência se aproximam indefinidamente à medida que a posição na sequência cresce. Formalmente, dizemos que se, para qualquer , existe um número tal que para todo , a diferença é menor que .

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