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Sejam e seja o subespaço gerado por . Determine a dimensão de em função de .
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de quatro vetores, chamado , que são , , e . A gente quer descobrir a dimensão do subespaço que esses vetores geram, e essa dimensão pode mudar dependendo do valor de . Basicamente, vamos ver quantos desses vetores são realmente “independentes” para cada valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a dimensão de um subespaço. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes no conjunto. Se todos os vetores forem independentes, a dimensão será igual ao número de vetores. Se alguns forem dependentes, a dimensão será menor.
Para descobrir isso, vamos montar uma matriz onde cada vetor de é uma coluna:
Agora, precisamos calcular o posto dessa matriz, que é a dimensão do subespaço W. O posto é o número de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos fazer uma redução por linhas para simplificar a matriz e ver se conseguimos encontrar quando as linhas são dependentes ou independentes.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, vamos focar na terceira linha. Para que todas as linhas sejam independentes, o elemento na terceira coluna dessa linha não pode ser zero. Ou seja:
-8 + 4t neq 0
Resolvendo:
4t neq 8 t neq 2
Se t neq 2, então temos quatro linhas independentes, o que significa que a dimensão de W é 4.
Mas se t = 2, o elemento fica zero:
-8 + 4(2) = -8 + 8 = 0
Então, a terceira linha fica:
0 0 0 -2 + 4 = 2
Ainda temos uma linha não nula, mas agora precisamos verificar se há dependência. Calculando o posto, vemos que ainda temos três linhas independentes.
Resposta
A dimensão de W é 4 para qualquer valor de t, exceto quando t = 2, onde a dimensão é 3.