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Sejam e seja o subespaço gerado por . Determine a dimensão de em função de .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de quatro vetores, chamado , que são , , e . A gente quer descobrir a dimensão do subespaço que esses vetores geram, e essa dimensão pode mudar dependendo do valor de . Basicamente, vamos ver quantos desses vetores são realmente “independentes” para cada valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a dimensão de um subespaço. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes no conjunto. Se todos os vetores forem independentes, a dimensão será igual ao número de vetores. Se alguns forem dependentes, a dimensão será menor.
Para descobrir isso, vamos montar uma matriz onde cada vetor de é uma coluna:
Agora, precisamos calcular o posto dessa matriz, que é a dimensão do subespaço . O posto é o número de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos fazer uma redução por linhas para simplificar a matriz e ver se conseguimos encontrar quando as linhas são dependentes ou independentes.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Em seguida, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando a terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos focar na terceira linha. Para que todas as linhas sejam independentes, o elemento na terceira coluna dessa linha não pode ser zero. Ou seja:
Resolvendo:
Se , então temos quatro linhas independentes, o que significa que a dimensão de é 4.
Mas se , o elemento fica zero:
Então, a terceira linha fica:
Ainda temos uma linha não nula, mas agora precisamos verificar se há dependência. Calculando o posto, vemos que ainda temos três linhas independentes.

Resposta

A dimensão de é para qualquer valor de , exceto quando , onde a dimensão é .

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