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Sejam beta=(1, t, 2,0),(0,1,2,0),(2,5,6,0),(1,0,0,1) e seja W o subespaço gerado por beta. Determine a dimensão de W em função de t.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de quatro vetores, chamado beta, que são (1, t, 2,0), (0,1,2,0), (2,5,6,0) e (1,0,0,1). A gente quer descobrir a dimensão do subespaço W que esses vetores geram, e essa dimensão pode mudar dependendo do valor de t. Basicamente, vamos ver quantos desses vetores são realmente “independentes” para cada valor de t.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a dimensão de um subespaço. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes no conjunto. Se todos os vetores forem independentes, a dimensão será igual ao número de vetores. Se alguns forem dependentes, a dimensão será menor.
Para descobrir isso, vamos montar uma matriz onde cada vetor de beta é uma coluna:
A = 1 & 0 & 2 & 1 t & 1 & 5 & 0 2 & 2 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Agora, precisamos calcular o posto dessa matriz, que é a dimensão do subespaço W. O posto é o número de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos fazer uma redução por linhas para simplificar a matriz e ver se conseguimos encontrar quando as linhas são dependentes ou independentes.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 0 & 2 & 1 t & 1 & 5 & 0 0 & 2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 1
Agora, subtraímos t vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 5 - 2t & -t 0 & 2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 1
Em seguida, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 5 - 2t & -t 0 & 0 & 2 - 2(5 - 2t) & -2 + 2t 0 & 0 & 0 & 1
Simplificando a terceira linha:
1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 5 - 2t & -t 0 & 0 & 2 - 10 + 4t & -2 + 2t 0 & 0 & 0 & 1
1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 5 - 2t & -t 0 & 0 & -8 + 4t & -2 + 2t 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos focar na terceira linha. Para que todas as linhas sejam independentes, o elemento na terceira coluna dessa linha não pode ser zero. Ou seja:
-8 + 4t neq 0
Resolvendo:
4t neq 8 t neq 2
Se t neq 2, então temos quatro linhas independentes, o que significa que a dimensão de W é 4.
Mas se t = 2, o elemento fica zero:
-8 + 4(2) = -8 + 8 = 0
Então, a terceira linha fica:
0 0 0 -2 + 4 = 2
Ainda temos uma linha não nula, mas agora precisamos verificar se há dependência. Calculando o posto, vemos que ainda temos três linhas independentes.

Resposta

A dimensão de W é 4 para qualquer valor de t, exceto quando t = 2, onde a dimensão é 3.

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