Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral t1+t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de t1+t^3 usando uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração t1+t^3 de uma forma que facilite a expansão em série. Observamos que:
11 + t^3 = 11 - (-t^3)
Isso nos lembra a fórmula da série geométrica:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Aplicando essa fórmula com x = -t^3, temos:
11 + t^3 = sumn=0^infty (-t^3)^n = sumn=0^infty (-1)^n t^3n
Essa expansão é válida quando | -t^3 | < 1, ou seja, quando |t| < 1.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por t:
t1 + t^3 = t cdot sumn=0^infty (-1)^n t^3n = sumn=0^infty (-1)^n t^3n + 1

Passo 4

Com a função agora expressa como uma série de potências, podemos integrar termo a termo:
integral t1 + t^3 , dt = integral sumn=0^infty (-1)^n t^3n + 1 , dt = sumn=0^infty (-1)^n integral t^3n + 1 , dt
Integrando cada termo:
integral t^3n + 1 , dt = t^3n + 23n + 2 + C
Portanto, a integral fica:
integral t1 + t^3 , dt = sumn=0^infty (-1)^n3n + 2 t^3n + 2 + C

Resposta

A integral indefinida escrita como uma série de potências é:
integral t1 + t^3 , dt = sumn=0^infty (-1)^n3n + 2 t^3n + 2 + C
O raio de convergência dessa série é 1, ou seja, a série converge para |t| < 1.

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