Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de
usando uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
de uma forma que facilite a expansão em série. Observamos que:
Isso nos lembra a fórmula da série geométrica:
Aplicando essa fórmula com
, temos:
Essa expansão é válida quando
, ou seja, quando
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
:
Passo 4
Com a função agora expressa como uma série de potências, podemos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Portanto, a integral fica:
Resposta
A integral indefinida escrita como uma série de potências é:
O raio de convergência dessa série é
, ou seja, a série converge para
.