Defina precisamente as expressões matemáticas abaixo, falando do domínio de f e de p caso necessário:
lim x p f(x)=L

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão de limite: lim x p f(x)=L. A matéria aqui é Cálculo, especificamente os limites. O que vamos precisar é entender o que significa dizer que a função f(x) se aproxima de L quando x se aproxima de p. Vamos detalhar isso direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função f. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função f(x) está definida. Ou seja, são os valores que você pode colocar na função sem ter problemas, como divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa lim x p f(x)=L. Isso quer dizer que, à medida que x se aproxima de p, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Mas o que exatamente isso implica?

Passo 4

Para definir isso de forma precisa, usamos a definição de limite via epsilon e delta. Isso nos ajuda a formalizar o conceito de “aproximar-se”. A definição é a seguinte:
Para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x - p| < de, então |f(x) - L| < varepsilon.

Passo 5

Vamos quebrar isso:
  • varepsilon (Épsilon): Representa uma margem de erro pequena que a gente escolhe para quão perto f(x) precisa estar de L.
  • de (Delta): É a margem que a gente escolhe para x se aproximar de p de forma que, se x estiver dentro dessa margem, f(x) estará dentro da margem de L.

Passo 6

Então, resumindo a definição:
  1. Você escolhe qualquer varepsilon > 0 (queremos que f(x) esteja dentro de uma faixa de L).
  2. Aí, você encontra um de 0 correspondente, tal que se x estiver a menos de de de p (mas diferente de p), então f(x) estará a menos de varepsilon de L.
  3. Isso precisa valer para qualquer varepsilon que você escolher, por menor que seja.

Resposta

A expressão lim x p f(x)=L significa que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que x está no domínio de f, satisfazendo 0 < |x - p| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. Isso define que f(x) se aproxima de L à medida que x se aproxima de p.

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