Defina precisamente as expressões matemáticas abaixo, falando do domínio de
e de
caso necessário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão de limite:
. A matéria aqui é Cálculo, especificamente os limites. O que vamos precisar é entender o que significa dizer que a função
se aproxima de
quando
se aproxima de
. Vamos detalhar isso direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função
está definida. Ou seja, são os valores que você pode colocar na função sem ter problemas, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Mas o que exatamente isso implica?
Passo 4
Para definir isso de forma precisa, usamos a definição de limite via epsilon e delta. Isso nos ajuda a formalizar o conceito de “aproximar-se”. A definição é a seguinte:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 5
Vamos quebrar isso:
-
(Épsilon): Representa uma margem de erro pequena que a gente escolhe para quão perto precisa estar de . -
(Delta): É a margem que a gente escolhe para se aproximar de de forma que, se estiver dentro dessa margem, estará dentro da margem de .
Passo 6
Então, resumindo a definição:
- Você escolhe qualquer
(queremos que esteja dentro de uma faixa de ). - Aí, você encontra um
correspondente, tal que se estiver a menos de de (mas diferente de ), então estará a menos de de . - Isso precisa valer para qualquer
que você escolher, por menor que seja.
Resposta
A expressão
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que
está no domínio de
, satisfazendo
, então
. Isso define que
se aproxima de
à medida que
se aproxima de
.
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Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
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A função
não está definida no ponto
. Existe algum valor que podemos dar a
de forma que
assim alterada seja contínua neste ponto?
Mostre que se
é contínua e
para todo ponto
, então
para todo
.