Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: lim x 0(3x^2-8x^4)

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve o estudo de limites, um conceito fundamental no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada termo da expressão separadamente:
  1. : Conforme se aproxima de 0, fica cada vez menor, fazendo com que cresça sem limites, tendendo ao infinito positivo.
  2. : Da mesma forma, à medida que se aproxima de 0, também fica menor, e cresce para o infinito positivo ainda mais rapidamente que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a diferença entre esses dois termos: . Ambos os termos tendem ao infinito positivo, mas o segundo termo ( ) cresce muito mais rápido do que o primeiro ( ).

Passo 4

Então, quando subtraímos de , estamos essencialmente fazendo algo como , que é uma forma indeterminada. Para entender o comportamento dessa expressão, precisamos comparar as taxas de crescimento dos termos.

Passo 5

Como cresce muito mais rapidamente que à medida que se aproxima de 0, a subtração resultará em um valor que tende ao negativo infinito. Isso porque o segundo termo domina completamente o primeiro, tornando a expressão globalmente negativa e infinitamente grande em magnitude.

Resposta

Portanto, o limite não existe porque a expressão tende a menos infinito:
limx 0(3x^2-8x^4) = -infty

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