Define
.
a) Prove que
é homomorfismo.
b) Determine
e
.
c) Identifique o anel
.
a) Prove que
b) Determine
c) Identifique o anel
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um mapa
que pega uma função contínua no intervalo
e retorna o valor dessa função em
. O conteúdo aqui envolve teoria dos anéis e homomorfismos. Vamos precisar entender o que é um homomorfismo, a imagem e o núcleo de uma função, e como identificar quocientes de anéis.
Passo 2
Parte a): Queremos provar que
é um homomorfismo de anéis. Mas, calma! O que é isso?
Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para funções
e
em
:
Vamos verificar essas propriedades para
.
Adição:
Multiplicação:
Como as duas propriedades são satisfeitas,
é realmente um homomorfismo de anéis.
Passo 3
Parte b): Vamos encontrar a imagem
e o núcleo
de
.
Imagem
:
A imagem de são todos os possíveis valores que
pode assumir. Como
e
é contínua em
, qualquer número real pode ser atingido dependendo de
. Então:
A imagem de
Núcleo
:
O núcleo de é o conjunto de todas as funções cujo valor em
é zero. Ou seja:
O núcleo de
Passo 4
Parte c): Agora, precisamos identificar o anel quociente
.
Um anel quociente
onde
é um ideal, basicamente “colapsa” o ideal
a zero. No nosso caso,
é um ideal em
.
Como
e
é um homomorfismo, pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo, temos:
Isso significa que o anel quociente
é isomorfo ao anel dos n��meros reais
.
Resposta
a)
é um homomorfismo de anéis.
b)
e
.
c) O anel
é isomorfo a
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é um ideal de
(chamamos
de ideal produto de
e
).
Prove que
(p primo),
são domínios.
Por que a função
não é homomorfismo?
Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis
e
.