Define F: C([0,1]) R, F(f)=f(1 / 2), forall f in C([0,1]).
a) Prove que F é homomorfismo.
b) Determine Im(F) e N(F).
c) Identifique o anel C([0,1]) / N(F).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um mapa que pega uma função contínua no intervalo e retorna o valor dessa função em . O conteúdo aqui envolve teoria dos anéis e homomorfismos. Vamos precisar entender o que é um homomorfismo, a imagem e o núcleo de uma função, e como identificar quocientes de anéis.

Passo 2

Parte a): Queremos provar que F(f + g) = (f + g)(12) = f(12) + g(12) = F(f) + F(g) é um homomorfismo de anéis. Mas, calma! O que é isso?
Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para funções F(f cdot g) = (f cdot g)(12) = f(12) cdot g(12) = F(f) cdot F(g) e em :
Vamos verificar essas propriedades para .
Adição:
Multiplicação:
Como as duas propriedades são satisfeitas, é realmente um homomorfismo de anéis.

Passo 3

Parte b): Vamos encontrar a imagem Im(F) = R e o núcleo N(F) = f in C([0,1]) mid f(12) = 0 de .
Imagem :
A imagem de são todos os possíveis valores que pode assumir. Como e é contínua em , qualquer número real pode ser atingido dependendo de . Então:
Núcleo :
O núcleo de é o conjunto de todas as funções cujo valor em é zero. Ou seja:

Passo 4

Parte c): Agora, precisamos identificar o anel quociente C([0,1]) / N(F) cong R .
Um anel quociente onde é um ideal, basicamente “colapsa” o ideal a zero. No nosso caso, é um ideal em .
Como e é um homomorfismo, pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo, temos:
Isso significa que o anel quociente é isomorfo ao anel dos n��meros reais .

Resposta

a) é um homomorfismo de anéis.
b) e .
c) O anel é isomorfo a .

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