Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis Q[i] e Z[raizp].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os homomorfismos não-nulos dos anéis Q[i] e Z[raizp]. Isso entra no conteúdo de teoria dos anéis, especificamente sobre homomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos de anéis, analisar as estruturas dos anéis Q[i] e Z[raizp], e ver como podemos mapear esses anéis de forma não-trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre homomorfismos de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as operações de soma e multiplicação. Ou seja, se temos um homomorfismo phi: A B, então para quaisquer elementos a, b in A:
phi(a + b) = phi(a) + phi(b)
phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b)
Também, phi(1A) = 1B se os anéis tiverem identidade.

Passo 3

Vamos começar analisando os homomorfismos de Q[i]. Esse anel é o conjunto de todos os números da forma a + b i, onde a e b são racionais, e i é a unidade imaginária com i^2 = -1. Como Q[i] é um campo (já que é uma extensão de campo de Q), qualquer homomorfismo de anél precisa ser uma auto-isomorfismo ou trivial (que manda todo elemento para zero).

Passo 4

Sabemos que os auto-isomorfismos de Q[i] são determinados por onde a unidade imaginária i é mapeada. Como i^2 = -1, temos que:
phi(i)^2 = phi(i^2) = phi(-1) = -1
As soluções para essa equação são phi(i) = i ou phi(i) = -i. Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de Q[i] são a identidade e o conjugado complexo.

Passo 5

Agora vamos para Z[raizp], onde p é um número primo. Esse anel consiste de todos os números da forma a + braizp, com a, b in Z. Para encontrar os homomorfismos não-nulos desse anel, precisamos considerar onde raizp pode ser mapeado.

Passo 6

Seja phi: Z[raizp] B um homomorfismo não-nulo de anéis. Então, phi(raizp) deve satisfazer:
phi(raizp)^2 = phi(raizp^2) = phi(p) = p
Como estamos trabalhando dentro do contexto dos inteiros, a única solução inteira para essa equação é phi(raizp) = raizp ou phi(raizp) = -raizp. Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de Z[raizp] são a identidade e o mapeamento que envia raizp para seu negativo.

Resposta

Os únicos homomorfismos não-nulos dos anéis Q[i] e Z[raizp] são a identidade e o homomorfismo que envia cada elemento para o seu conjugado (em Q[i]) ou que envia raizp para -raizp (em Z[raizp]).

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