Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os homomorfismos não-nulos dos anéis e . Isso entra no conteúdo de teoria dos anéis, especificamente sobre homomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos de anéis, analisar as estruturas dos anéis e , e ver como podemos mapear esses anéis de forma não-trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre homomorfismos de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as operações de soma e multiplicação. Ou seja, se temos um homomorfismo , então para quaisquer elementos :
Também, se os anéis tiverem identidade.

Passo 3

Vamos começar analisando os homomorfismos de . Esse anel é o conjunto de todos os números da forma , onde e são racionais, e é a unidade imaginária com . Como é um campo (já que é uma extensão de campo de ), qualquer homomorfismo de anél precisa ser uma auto-isomorfismo ou trivial (que manda todo elemento para zero).

Passo 4

Sabemos que os auto-isomorfismos de são determinados por onde a unidade imaginária é mapeada. Como , temos que:
As soluções para essa equação são ou . Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de são a identidade e o conjugado complexo.

Passo 5

Agora vamos para , onde é um número primo. Esse anel consiste de todos os números da forma , com . Para encontrar os homomorfismos não-nulos desse anel, precisamos considerar onde pode ser mapeado.

Passo 6

Seja um homomorfismo não-nulo de anéis. Então, deve satisfazer:
Como estamos trabalhando dentro do contexto dos inteiros, a única solução inteira para essa equação é ou . Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de são a identidade e o mapeamento que envia para seu negativo.

Resposta

Os únicos homomorfismos não-nulos dos anéis e são a identidade e o homomorfismo que envia cada elemento para o seu conjugado (em ) ou que envia para (em ).

Exercícios relacionados

Por que a função
não é homomorfismo?
Define .
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e .
c) Identifique o anel .
Seja um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
Prove que os corpos e não são isomorfos.