Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os homomorfismos não-nulos dos anéis
e
. Isso entra no conteúdo de teoria dos anéis, especificamente sobre homomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos de anéis, analisar as estruturas dos anéis
e
, e ver como podemos mapear esses anéis de forma não-trivial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre homomorfismos de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as operações de soma e multiplicação. Ou seja, se temos um homomorfismo
, então para quaisquer elementos
:
Também,
se os anéis tiverem identidade.
Passo 3
Vamos começar analisando os homomorfismos de
. Esse anel é o conjunto de todos os números da forma
, onde
e
são racionais, e
é a unidade imaginária com
. Como
é um campo (já que é uma extensão de campo de
), qualquer homomorfismo de anél precisa ser uma auto-isomorfismo ou trivial (que manda todo elemento para zero).
Passo 4
Sabemos que os auto-isomorfismos de
são determinados por onde a unidade imaginária
é mapeada. Como
, temos que:
As soluções para essa equação são
ou
. Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de
são a identidade e o conjugado complexo.
Passo 5
Agora vamos para
, onde
é um número primo. Esse anel consiste de todos os números da forma
, com
. Para encontrar os homomorfismos não-nulos desse anel, precisamos considerar onde
pode ser mapeado.
Passo 6
Seja
um homomorfismo não-nulo de anéis. Então,
deve satisfazer:
Como estamos trabalhando dentro do contexto dos inteiros, a única solução inteira para essa equação é
ou
. Portanto, os únicos homomorfismos não-nulos de
são a identidade e o mapeamento que envia
para seu negativo.
Resposta
Os únicos homomorfismos não-nulos dos anéis
e
são a identidade e o homomorfismo que envia cada elemento para o seu conjugado (em
) ou que envia
para
(em
).
Exercícios relacionados
Por que a função
não é homomorfismo?
Define
.
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e
.
c) Identifique o anel .
a) Prove que
b) Determine
c) Identifique o anel
Seja
um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
(i)
(ii)
(iii) Os únicos ideais de
Prove que os corpos
e
não são isomorfos.