Prove que
(p primo),
são domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que certos conjuntos são domínios. Um domínio, nesse contexto, é um tipo especial de anel chamado domínio integral, que é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses conjuntos e verificar se eles satisfazem essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um domínio integral. Um domínio integral é um anel onde:
- A operação de multiplicação é comutativa.
- Existe um elemento identidade para a multiplicação (geralmente o 1).
- Não existem divisores de zero, ou seja, se
, então ou .
Agora, vamos analisar cada um dos conjuntos listados no exercício para ver se eles cumprem essas condições.
Passo 3
- Comutatividade: A multiplicação de números complexos é comutativa.
- Unidade: O número 1 está em
. - Sem divisores de zero: Se
, então ou .
Portanto,
é um domínio.
Passo 4
- Comutatividade: Igual aos gaussianos inteiros.
- Unidade: 1 também está em
. - Sem divisores de zero: A mesma lógica dos inteiros se aplica aqui.
Logo,
é um domínio.
Passo 5
- Comutatividade: A multiplicação de polinômios é comutativa.
- Unidade: O polinômio constante 1 está presente.
- Sem divisores de zero: Em polinômios sobre um anel sem divisores de zero, não há divisores de zero.
Portanto,
é um domínio.
Passo 6
- Comutatividade: A multiplicação é comutativa.
- Unidade: 1 está incluído nesse conjunto.
- Sem divisores de zero: Se
, então ou .
Assim,
é um domínio.
Passo 7
- Comutatividade: A multiplicação de polinômios é comutativa.
- Unidade: O polinômio constante 1 está presente.
- Sem divisores de zero: Em polinômios sobre um anel sem divisores de zero, não há divisores de zero.
Logo,
é um domínio.
Passo 8
- Comutatividade: Igual aos polinômios inteiros.
- Unidade: 1 está incluído.
- Sem divisores de zero: Mesma lógica dos anteriores.
Portanto,
é um domínio.
Passo 9
- Comutatividade: A multiplicação é comutativa.
- Unidade: O polinômio 1 está presente.
- Sem divisores de zero: Não há divisores de zero em polinômios com coeficientes reais.
Assim,
é um domínio.
Passo 10
- Comutatividade: Igual aos polinômios sobre outros campos.
- Unidade: 1 está incluído.
- Sem divisores de zero: Não existem divisores de zero nesse conjunto.
Portanto,
é um domínio.
Resposta
Concluímos que todos os conjuntos
são domínios integrais.
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Mostre que
não é domínio.
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Mostre que
é um ideal de
(chamamos
de ideal produto de
e
).
Define
.
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e
.
c) Identifique o anel .
a) Prove que
b) Determine
c) Identifique o anel