Prove que (p primo), são domínios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que certos conjuntos são domínios. Um domínio, nesse contexto, é um tipo especial de anel chamado domínio integral, que é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses conjuntos e verificar se eles satisfazem essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um domínio integral. Um domínio integral é um anel onde:
  1. A operação de multiplicação é comutativa.
  2. Existe um elemento identidade para a multiplicação (geralmente o 1).
  3. Não existem divisores de zero, ou seja, se , então ou .
Agora, vamos analisar cada um dos conjuntos listados no exercício para ver se eles cumprem essas condições.

Passo 3

: Este é o conjunto dos números inteiros gaussianos, que são da forma , onde e são inteiros e é a unidade imaginária ( ).
  • Comutatividade: A multiplicação de números complexos é comutativa.
  • Unidade: O número 1 está em .
  • Sem divisores de zero: Se , então ou .
Portanto, é um domínio.

Passo 4

: Esse conjunto é similar a , mas com e sendo racionais.
  • Comutatividade: Igual aos gaussianos inteiros.
  • Unidade: 1 também está em .
  • Sem divisores de zero: A mesma lógica dos inteiros se aplica aqui.
Logo, é um domínio.

Passo 5

: Aqui, é um número primo. O conjunto consiste em polinômios com coeficientes inteiros e indeterminada .
  • Comutatividade: A multiplicação de polinômios é comutativa.
  • Unidade: O polinômio constante 1 está presente.
  • Sem divisores de zero: Em polinômios sobre um anel sem divisores de zero, não há divisores de zero.
Portanto, é um domínio.

Passo 6

: Aqui, é um primo e estamos trabalhando com números da forma , onde e são racionais.
  • Comutatividade: A multiplicação é comutativa.
  • Unidade: 1 está incluído nesse conjunto.
  • Sem divisores de zero: Se , então ou .
Assim, é um domínio.

Passo 7

: Este é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
  • Comutatividade: A multiplicação de polinômios é comutativa.
  • Unidade: O polinômio constante 1 está presente.
  • Sem divisores de zero: Em polinômios sobre um anel sem divisores de zero, não há divisores de zero.
Logo, é um domínio.

Passo 8

: Conjunto de polinômios com coeficientes racionais.
  • Comutatividade: Igual aos polinômios inteiros.
  • Unidade: 1 está incluído.
  • Sem divisores de zero: Mesma lógica dos anteriores.
Portanto, é um domínio.

Passo 9

: Conjunto de polinômios com coeficientes reais.
  • Comutatividade: A multiplicação é comutativa.
  • Unidade: O polinômio 1 está presente.
  • Sem divisores de zero: Não há divisores de zero em polinômios com coeficientes reais.
Assim, é um domínio.

Passo 10

: Conjunto de polinômios com coeficientes complexos.
  • Comutatividade: Igual aos polinômios sobre outros campos.
  • Unidade: 1 está incluído.
  • Sem divisores de zero: Não existem divisores de zero nesse conjunto.
Portanto, é um domínio.

Resposta

Concluímos que todos os conjuntos são domínios integrais.

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