ideais de
. Defina:
Mostre que
é um ideal de
(chamamos
de ideal produto de
e
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois ideais
e
em um anel
. Queremos definir o produto desses ideais, chamado
, que é o conjunto de todas as somas de produtos
, onde
está em
e
está em
. Nosso objetivo é mostrar que
também é um ideal de
. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um ideal e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é um subanel e tem a propriedade de absorção, ou seja, para todo
e
, tanto
quanto
estão em
. Agora, para mostrar que
é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
-
é um subanel de , ou seja, é fechado sob adição e possui um elemento neutro. -
tem a propriedade de absorção em relação a todo elemento de .
Passo 3
Vamos começar verificando que
é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de
, digamos
e
, onde
e
, a soma
será
. Já que a soma de elementos em
está em
e a soma de elementos em
está em
, o resultado
também estará em
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 4
Em seguida, precisamos ver se
tem um elemento neutro. O elemento neutro da adição é o zero, e podemos ver que se tomarmos
na definição de
, obtemos a soma vazia que é exatamente o zero. Então,
, confirmando que
tem o elemento neutro.
Passo 5
Agora, vamos verificar a absorção. Precisamos mostrar que para qualquer
e qualquer
, tanto
quanto
estão em
. Vamos tomar
com
e
. Multiplicando
por
, temos:
Como
é um ideal,
. Assim, cada termo
está em
, e a soma deles também está em
. O mesmo raciocínio vale para
:
Como
é um ideal,
, então cada termo
está em
, e a soma também está em
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades de um ideal em
. Portanto,
é um ideal de
, chamado de produto dos ideais
e
.
Exercícios relacionados
Prove que
(p primo),
são domínios.
Mostre que
não é domínio.
Define
.
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e
.
c) Identifique o anel .
a) Prove que
b) Determine
c) Identifique o anel
Por que a função
não é homomorfismo?