I, J ideais de A. Defina:
I J=sumi=1^n xi yi: n in N, xi in I, yi in J
Mostre que I J é um ideal de A (chamamos I J de ideal produto de I e J ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois ideais I e J em um anel A. Queremos definir o produto desses ideais, chamado I J, que é o conjunto de todas as somas de produtos xi yi, onde xi está em I e yi está em J. Nosso objetivo é mostrar que I J também é um ideal de A. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um ideal e verificar se I J satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Um ideal I de um anel A é um subconjunto de A que é um subanel e tem a propriedade de absorção, ou seja, para todo a in A e x in I, tanto a x quanto x a estão em I. Agora, para mostrar que I J é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
  1. I J é um subanel de A, ou seja, é fechado sob adição e possui um elemento neutro.
  2. I J tem a propriedade de absorção em relação a todo elemento de A.

Passo 3

Vamos começar verificando que I J é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de I J, digamos s = sumi=1^n xi yi e t = sumj=1^m x'j y'j, onde xi, x'j in I e yi, y'j in J, a soma s + t será sumi=1^n xi yi + sumj=1^m x'j y'j. Já que a soma de elementos em I está em I e a soma de elementos em J está em J, o resultado s + t também estará em I J. Logo, I J é fechado sob adição.

Passo 4

Em seguida, precisamos ver se I J tem um elemento neutro. O elemento neutro da adição é o zero, e podemos ver que se tomarmos n=0 na definição de I J, obtemos a soma vazia que é exatamente o zero. Então, 0 in I J, confirmando que I J tem o elemento neutro.

Passo 5

Agora, vamos verificar a absorção. Precisamos mostrar que para qualquer a in A e qualquer s in I J, tanto a s quanto s a estão em I J. Vamos tomar s = sumi=1^n xi yi com xi in I e yi in J. Multiplicando a por s, temos:
a s = a ( sumi=1^n xi yi ) = sumi=1^n (a xi) yi
Como I é um ideal, a xi in I. Assim, cada termo (a xi) yi está em I J, e a soma deles também está em I J. O mesmo raciocínio vale para s a:
s a = ( sumi=1^n xi yi ) a = sumi=1^n xi (yi a)
Como J é um ideal, yi a in J, então cada termo xi (yi a) está em I J, e a soma também está em I J.

Resposta

Concluímos que I J satisfaz todas as propriedades de um ideal em A. Portanto, I J é um ideal de A, chamado de produto dos ideais I e J.

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