ideais de . Defina:
Mostre que é um ideal de (chamamos de ideal produto de e ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois ideais e em um anel . Queremos definir o produto desses ideais, chamado , que é o conjunto de todas as somas de produtos , onde está em e está em . Nosso objetivo é mostrar que também é um ideal de . Para isso, vamos precisar conhecer o que é um ideal e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é um subanel e tem a propriedade de absorção, ou seja, para todo e , tanto quanto estão em . Agora, para mostrar que é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
  1. é um subanel de , ou seja, é fechado sob adição e possui um elemento neutro.
  2. tem a propriedade de absorção em relação a todo elemento de .

Passo 3

Vamos começar verificando que é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de , digamos e , onde e , a soma será . Já que a soma de elementos em está em e a soma de elementos em está em , o resultado também estará em . Logo, é fechado sob adição.

Passo 4

Em seguida, precisamos ver se tem um elemento neutro. O elemento neutro da adição é o zero, e podemos ver que se tomarmos na definição de , obtemos a soma vazia que é exatamente o zero. Então, , confirmando que tem o elemento neutro.

Passo 5

Agora, vamos verificar a absorção. Precisamos mostrar que para qualquer e qualquer , tanto quanto estão em . Vamos tomar com e . Multiplicando por , temos:
Como é um ideal, . Assim, cada termo está em , e a soma deles também está em . O mesmo raciocínio vale para :
Como é um ideal, , então cada termo está em , e a soma também está em .

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as propriedades de um ideal em . Portanto, é um ideal de , chamado de produto dos ideais e .

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Prove que (p primo), são domínios.
Mostre que não é domínio.
Define .
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e .
c) Identifique o anel .
Por que a função
não é homomorfismo?