Por que a função
não é homomorfismo?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que vai dos números inteiros para os números inteiros, definida por
. A pergunta é: por que essa função não é um homomorfismo?
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, um homomorfismo mantém a estrutura de um grupo quando mapeia seus elementos de um grupo para outro. Neste caso, estamos lidando com o grupo dos inteiros
com a operação de adição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de homomorfismo de grupos. Uma função
é um homomorfismo se, para todos os elementos
em
, a seguinte condição é satisfeita:
Então, para verificar se a função
é um homomorfismo, precisamos verificar se ela satisfaz essa condição para todos os inteiros
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
separadamente:
Primeiro,
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos comparar os dois resultados:
Para que
seja um homomorfismo, precisaríamos ter
para todos os inteiros
e
.
Passo 5
Vamos verificar se
:
Simplificando a equação:
Sabemos que, na maioria dos casos,
é diferente de
. Por exemplo, se
:
4 não é igual a 3, então a igualdade não se mantém.
Resposta
Portanto, a função
não é um homomorfismo porque ela não preserva a operação de adição, ou seja,
para todos os inteiros
e
.
Exercícios relacionados
Define
.
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e
.
c) Identifique o anel .
a) Prove que
b) Determine
c) Identifique o anel
Mostre que
é um ideal de
(chamamos
de ideal produto de
e
).
Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis
e
.
Seja
um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
(i)
(ii)
(iii) Os únicos ideais de