Por que a função
& Z Z & n mapsto 2^n-1
não é homomorfismo?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que vai dos números inteiros para os números inteiros, definida por . A pergunta é: por que essa função não é um homomorfismo?
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, um homomorfismo mantém a estrutura de um grupo quando mapeia seus elementos de um grupo para outro. Neste caso, estamos lidando com o grupo dos inteiros com a operação de adição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de homomorfismo de grupos. Uma função f(a + b) = f(a) + f(b) é um homomorfismo se, para todos os elementos em , a seguinte condição é satisfeita:
Então, para verificar se a função é um homomorfismo, precisamos verificar se ela satisfaz essa condição para todos os inteiros e .

Passo 3

Vamos calcular f(a + b) = 2^a + b - 1 = 2^a cdot 2^b - 1 e f(a) + f(b) = (2^a - 1) + (2^b - 1) = 2^a + 2^b - 2 separadamente:
Primeiro, :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos comparar os dois resultados:
f(a + b) = 2^a cdot 2^b - 1 = 2^a + b - 1
f(a) + f(b) = 2^a + 2^b - 2
Para que seja um homomorfismo, precisaríamos ter para todos os inteiros e .

Passo 5

Vamos verificar se 2^a + b - 1 stackrel?= 2^a + 2^b - 2 :
2^a + b = 2^a + 2^b - 1
Simplificando a equação:
2^1 + 1 = 4
Sabemos que, na maioria dos casos, 2^1 + 2^1 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3 é diferente de . Por exemplo, se :
4 não é igual a 3, então a igualdade não se mantém.

Resposta

Portanto, a função não é um homomorfismo porque ela não preserva a operação de adição, ou seja, para todos os inteiros e .

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