Por que a função
não é homomorfismo?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que vai dos números inteiros para os números inteiros, definida por . A pergunta é: por que essa função não é um homomorfismo?
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, um homomorfismo mantém a estrutura de um grupo quando mapeia seus elementos de um grupo para outro. Neste caso, estamos lidando com o grupo dos inteiros com a operação de adição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de homomorfismo de grupos. Uma função é um homomorfismo se, para todos os elementos em , a seguinte condição é satisfeita:
Então, para verificar se a função é um homomorfismo, precisamos verificar se ela satisfaz essa condição para todos os inteiros e .

Passo 3

Vamos calcular e separadamente:
Primeiro, :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos comparar os dois resultados:
Para que seja um homomorfismo, precisaríamos ter para todos os inteiros e .

Passo 5

Vamos verificar se :
Simplificando a equação:
Sabemos que, na maioria dos casos, é diferente de . Por exemplo, se :
4 não é igual a 3, então a igualdade não se mantém.

Resposta

Portanto, a função não é um homomorfismo porque ela não preserva a operação de adição, ou seja, para todos os inteiros e .

Exercícios relacionados

Define .
a) Prove que é homomorfismo.
b) Determine e .
c) Identifique o anel .
ideais de . Defina:
Mostre que é um ideal de (chamamos de ideal produto de e ).
Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis e .
Seja um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).