Define-se a convolução de duas funções e por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução entre as funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformadas de Laplace. Vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar o Teorema da Convolução para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução de e é definida por:
No nosso caso, temos e . Então, a convolução fica:

Passo 3

Antes de calcular essa integral diretamente, vamos usar o Teorema da Convolução das transformadas de Laplace. Esse teorema diz que:
Isso significa que podemos calcular diretamente as transformadas de Laplace das funções e multiplicá-las, ao invés de resolver a integral da convolução.

Passo 4

Vamos encontrar as transformadas de Laplace de e de :
  • Para :
  • Para :
Você pode lembrar que, em geral, .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Convolução:

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:

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Calcule o valor das expressões:
Uma viga de comprimento está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando .
Se , quais os possíveis valores para sen .
Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem: