Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.1.
6.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução entre as funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformadas de Laplace. Vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar o Teorema da Convolução para facilitar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
de
e
é definida por:
No nosso caso, temos
e
. Então, a convolução fica:
Passo 3
Antes de calcular essa integral diretamente, vamos usar o Teorema da Convolução das transformadas de Laplace. Esse teorema diz que:
Isso significa que podemos calcular diretamente as transformadas de Laplace das funções e multiplicá-las, ao invés de resolver a integral da convolução.
Passo 4
Vamos encontrar as transformadas de Laplace de
e de
:
- Para
:
- Para
:
Você pode lembrar que, em geral,
.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Convolução:
Resposta
A transformada de Laplace da convolução
é:
Exercícios relacionados
Calcule o valor das expressões:
Uma viga de comprimento
está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão
satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando
.
Se
, quais os possíveis valores para sen
.
Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem: