Uma viga de comprimento está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma viga de comprimento que está fixa em ambos os extremos, tipo engastada. O que queremos é descobrir como essa viga vai se defletir quando a gente aplica uma carga constante distribuída de forma uniforme ao longo dela. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a equação da deflexão da viga, que envolve derivadas de quarta ordem, e aplicar as condições de contorno que dizem que nas extremidades a deflexão e sua inclinação são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve a deflexão da viga:
Como a carga é constante e igual a , fica:
Aqui, é o módulo de elasticidade do material, e é o momento de inércia da seção da viga.

Passo 3

Nossa missão agora é resolver essa equação diferencial para encontrar . Vamos começar isolando a derivada de quarta ordem:
Para resolver isso, vamos integrar essa equação quatro vezes para achar .

Passo 4

Integrando a primeira vez em relação a :
Aqui, é a primeira constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente:
é a segunda constante de integração.

Passo 6

Mais uma integração:
é a terceira constante de integração.

Passo 7

E finalmente, a quarta integração:
é a quarta constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Primeira condição:

Passo 9

Segunda condição:

Passo 10

Terceira condição:

Passo 11

Quarta condição:

Passo 12

Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido nas condições e :
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando por 2:

Passo 13

Agora, podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:

Passo 14

Substituindo na primeira equação:
Simplificando:

Passo 15

Resolvendo para :

Passo 16

Agora, substituindo na expressão de :

Passo 17

Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a expressão final para :
Podemos simplificar fatorando :

Resposta

A deflexão da viga é dada por

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