Uma viga de comprimento
está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão
satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma viga de comprimento
que está fixa em ambos os extremos, tipo engastada. O que queremos é descobrir como essa viga vai se defletir quando a gente aplica uma carga constante
distribuída de forma uniforme ao longo dela. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a equação da deflexão da viga, que envolve derivadas de quarta ordem, e aplicar as condições de contorno que dizem que nas extremidades a deflexão e sua inclinação são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve a deflexão
da viga:
Como a carga é constante e igual a
, fica:
Aqui,
é o módulo de elasticidade do material, e
é o momento de inércia da seção da viga.
Passo 3
Nossa missão agora é resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos começar isolando a derivada de quarta ordem:
Para resolver isso, vamos integrar essa equação quatro vezes para achar
.
Passo 4
Integrando a primeira vez em relação a
:
Aqui,
é a primeira constante de integração.
Passo 5
Integrando novamente:
Passo 6
Mais uma integração:
Passo 7
E finalmente, a quarta integração:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Passo 9
Segunda condição:
Passo 10
Terceira condição:
Passo 11
Quarta condição:
Passo 12
Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido nas condições
e
:
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando por 2:
Passo 13
Agora, podemos expressar
em termos de
a partir da segunda equação:
Passo 14
Substituindo
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 15
Resolvendo para
:
Passo 16
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 17
Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a expressão final para
:
Podemos simplificar fatorando
:
Resposta
A deflexão da viga é dada por
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