Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.6. mathscrLe^2 t * sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções: e . Isso envolve entender o que é convolução e como a transformada de Laplace funciona com elas. Vamos precisar das fórmulas de convolução e das propriedades da transformada de Laplace para multiplicar as transformadas das funções individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau e é definida por:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica. No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a convolução com o produto das transformadas das funções. A propriedade diz que:
mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t)
Isso facilita muito, porque ao invés de calcular a convolução diretamente, a gente pode transformar as funções individualmente, multiplicar as transformadas e obter a resposta.

Passo 4

Vamos encontrar a transformada de Laplace de mathscrLe^at = 1s - a, para s > a . Sabemos que:
mathscrLe^2t = 1s - 2
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos achar a transformada de Laplace de . A fórmula é:
No nosso caso, mathscrLsen at = as^2 + a^2 , então:

Passo 6

Com as duas transformadas em mãos, agora vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:

Passo 7

Portanto, simplificando a expressão, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:

Exercícios relacionados

Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem:
y = 1/2 sen x
Se cos(x) = raiz(2) / 5, quais os possíveis valores para sen x.
Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.9. mathscrL^-11(s+1)(s-2)
Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
y = -cos(x)