Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.6.
6.6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções:
e . Isso envolve entender o que é convolução e como a transformada de Laplace funciona com elas. Vamos precisar das fórmulas de convolução e das propriedades da transformada de Laplace para multiplicar as transformadas das funções individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções
e
é definida por:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica. No nosso caso, temos
e .
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a convolução com o produto das transformadas das funções. A propriedade diz que:
Isso facilita muito, porque ao invés de calcular a convolução diretamente, a gente pode transformar as funções individualmente, multiplicar as transformadas e obter a resposta.
Passo 4
Vamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos achar a transformada de Laplace de . A fórmula é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Com as duas transformadas em mãos, agora vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:
Passo 7
Portanto, simplificando a expressão, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da convolução é:
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Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem:
Se
, quais os possíveis valores para sen
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.9.
6.9.
Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.