Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.9. mathscrL^-11(s+1)(s-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 6.9 que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Aqui, trabalharemos com Transformadas de Laplace e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão antes de aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 1(s+1)(s-2) = As+1 + Bs-2 usando frações parciais. Isso significa que queremos encontrar números e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(s - 2) + B(s + 1) para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(2 - 2) + B(2 + 1) 1 = 0 + 3B B = 13 e 1 = A(-1 - 2) + B(-1 + 1) 1 = -3A + 0 A = -13 . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Primeiro, escolhemos :
  • Segundo, escolhemos :

Passo 5

Agora que temos 1(s+1)(s-2) = -13 cdot 1s+1 + 13 cdot 1s-2 e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
mathscrL^-11s+a = e^-a t
Aplicando isso aos nossos termos:
mathscrL^-1-13 cdot 1s+1 = -13 e^-1 cdot t = -13 e^-t
mathscrL^-113 cdot 1s-2 = 13 e^2 t

Passo 7

Finalmente, juntamos os termos encontrados para obter a solução completa:
f(t) = -13 e^-t + 13 e^2t = 13 (e^2t - e^-t)

Resposta

f(t) = 13 (e^2t - e^-t)

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Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.6. mathscrLe^2 t * sen t
Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem:
y = 1/2 sen x
Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
y = -cos(x)
Resolva as equações:
2 cos(x - pi) = 1