Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.7. mathscrL^-1s(s^2+4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace e Teorema da Convolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a convolução de duas funções no domínio do tempo a partir de suas transformadas no domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como podemos quebrar s(s^2+4)^2 = ( ss^2+4 ) cdot ( 1s^2+4 ) em um produto de duas funções mais simples. Observamos que:
Aqui, temos duas partes:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de Laplace dessas duas funções individuais.
Para f(t) = cos(2t) :
Sabemos que g(t) = 12 sin(2t) . Comparando, temos . Então,
Para :
Sabemos que . Aqui, , mas precisamos ajustar para no numerador. Então,

Passo 4

Agora que temos mathscrL^-1s(s^2+4)^2 = f(t) * g(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau e f(t) * g(t) = integral0^t cos(2tau) cdot 12 sin[2(t - tau)] dtau , podemos usar o Teorema da Convolução para encontrar a transformada inversa original:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
f(t) * g(t) = 12 integral0^t cos(2tau) sin[2(t - tau)] dtau
Usando a identidade trigonométrica:
sin A cos B = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Aplicando isso à nossa integral:
cos(2tau) sin[2(t - tau)] = 12 [sin(2t) + sin(4tau - 2t)]
Portanto:
f(t) * g(t) = 14 integral0^t [sin(2t) + sin(4tau - 2t)] dtau

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
  1. Integração de integral0^t sin(2t) dtau = sin(2t) cdot tau g|0^t = t sin(2t) em relação a integral0^t sin(4tau - 2t) dtau = 14 integral-2t^2t sin(u) du = 14 [-cos(u)]-2t^2t = 14 [-cos(2t) + cos(-2t)] = 0 :
  1. Integração de :
Fazendo , então , ou . Quando , ; quando , .
Porque , então .

Passo 7

Juntando tudo:
f(t) * g(t) = 14 ( t sin(2t) + 0 ) = t4 sin(2t)

Resposta

A transformada inversa é .

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