Derive a formula for
in terms of starred derivatives relative to a rotating coordinate system.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a terceira derivada de um vetor A em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{d^{3} \boldsymbol{A}}{d t^{3}} $, usando derivadas em um sistema de coordenadas que está girando (chamadas de derivadas estreladas). Esse tipo de problema está ligado à dinâmica em sistemas de referência não inerciais, onde precisamos considerar os efeitos da rotação do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se relacionam as derivadas em um sistema inercial (fixo) com as derivadas em um sistema rotativo. A primeira derivada no sistema inercial é:
Aqui, $ \left( \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \right)^* $ é a derivada no sistema rotativo, e $ \boldsymbol{\omega} $ é a velocidade angular da rotação.
Passo 3
Vamos derivar novamente para obter a segunda derivada:
Isso dá:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas e consideramos que $ \boldsymbol{\omega} $ pode variar com o tempo.
Passo 4
Agora, vamos derivar mais uma vez para obter a terceira derivada:
Substituindo a expressão da segunda derivada:
Usamos novamente a regra do produto e levamos em conta todas as derivadas possíveis das quantidades que dependem do tempo.
Passo 5
Para simplificar, podemos escrever a fórmula geral das derivadas em um sistema rotativo. A terceira derivada no sistema fixa relaciona-se com a derivada no sistema rotativo e os termos envolvendo a rotação:
Essa expressão mostra como a terceira derivada no sistema inercial se relaciona com as derivadas no sistema rotativo e os efeitos da rotação.
Resposta
A fórmula para $ \frac{d^{3} \boldsymbol{A}}{dt^{3}} $ em termos das derivadas estreladas relativas a um sistema de coordenadas rotativo é: