Derive a formula for d^3 A / d t^3 in terms of starred derivatives relative to a rotating coordinate system.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a terceira derivada de um vetor A em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{d^{3} \boldsymbol{A}}{d t^{3}} $, usando derivadas em um sistema de coordenadas que está girando (chamadas de derivadas estreladas). Esse tipo de problema está ligado à dinâmica em sistemas de referência não inerciais, onde precisamos considerar os efeitos da rotação do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se relacionam as derivadas em um sistema inercial (fixo) com as derivadas em um sistema rotativo. A primeira derivada no sistema inercial é:
d Adt = ( d Adt )^* + omega times A
Aqui, $ \left( \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \right)^* $ é a derivada no sistema rotativo, e $ \boldsymbol{\omega} $ é a velocidade angular da rotação.

Passo 3

Vamos derivar novamente para obter a segunda derivada:
d^2 Adt^2 = ddt ( ( d Adt )^* + omega times A )
Isso dá:
d^2 Adt^2 = ( d^2 Adt^2 )^* + 2 omega times d Adt + omega times ( omega times A ) + d omegadt times A
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas e consideramos que $ \boldsymbol{\omega} $ pode variar com o tempo.

Passo 4

Agora, vamos derivar mais uma vez para obter a terceira derivada:
d^3 Adt^3 = ddt ( d^2 Adt^2 )
Substituindo a expressão da segunda derivada:
d^3 Adt^3 = ( d^3 Adt^3 )^* + 3 omega times d^2 Adt^2 + 3 omega times ( omega times d Adt ) + omega times ( omega times ( omega times A ) ) + 3 d omegadt times d Adt + 3 d omegadt times ( omega times A ) + d^2 omegadt^2 times A
Usamos novamente a regra do produto e levamos em conta todas as derivadas possíveis das quantidades que dependem do tempo.

Passo 5

Para simplificar, podemos escrever a fórmula geral das derivadas em um sistema rotativo. A terceira derivada no sistema fixa relaciona-se com a derivada no sistema rotativo e os termos envolvendo a rotação:
d^3 Adt^3 = ( d^3 Adt^3 )^* + 3 omega times d^2 Adt^2 + 3 omega times ( omega times d Adt ) + omega times ( omega times ( omega times A ) ) + 3 d omegadt times d Adt + 3 d omegadt times ( omega times A ) + d^2 omegadt^2 times A
Essa expressão mostra como a terceira derivada no sistema inercial se relaciona com as derivadas no sistema rotativo e os efeitos da rotação.

Resposta

A fórmula para $ \frac{d^{3} \boldsymbol{A}}{dt^{3}} $ em termos das derivadas estreladas relativas a um sistema de coordenadas rotativo é:
d^3 Adt^3

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