Define-se
, para a variável complexa
, usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções
e
, deduza que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para definirmos
, onde
(com
e
sendo números reais), usando a mesma série que provavelmente vimos na parte anterior do exercício. Depois, com essa definição e as séries de potência de
e , a gente precisa provar que:
Então, a gente vai precisar entender a série de potência para a exponencial, para o cosseno e para o seno, e como elas se relacionam quando a gente envolve números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial para um número complexo
é definida pela sua série de Taylor:
Isso significa que a gente expande o
como uma soma infinita, onde cada termo é
elevado a
dividido por
(fatorial de
).
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso especificamente para
, onde
é um número real. Substituindo na série da exponencial:
Vamos desenvolver essa soma para os primeiros termos para entender melhor o que está acontecendo.
Passo 4
Lembre-se que
é a unidade imaginária, com a propriedade
. Usando isso, vamos expandir os primeiros termos da série:
Simplificando cada termo:
Sabendo que
,
,
, e assim por diante, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos reais dos imaginários:
Parte Real:
Parte Imaginária:
Essas são exatamente as séries de potência do cosseno e do seno que a gente conhece!
Resposta
Assim, juntando as partes real e imaginária, temos que:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações como EDO
(d)
(d)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)
(d)
Calcule
.
(onde
) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas:
Prove que
, sen
, onde
.