Define-se e^z, para a variável complexa z = x + i y (x, y pertencem a R), usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções cos(alpha) e sen alpha, deduza que:
e^(i alpha) = cos(alpha) + i sen(alpha), alpha em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para definirmos , onde (com e sendo números reais), usando a mesma série que provavelmente vimos na parte anterior do exercício. Depois, com essa definição e as séries de potência de e , a gente precisa provar que:
Então, a gente vai precisar entender a série de potência para a exponencial, para o cosseno e para o seno, e como elas se relacionam quando a gente envolve números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial para um número complexo é definida pela sua série de Taylor:
Isso significa que a gente expande o como uma soma infinita, onde cada termo é elevado a dividido por (fatorial de ).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso especificamente para , onde é um número real. Substituindo na série da exponencial:
Vamos desenvolver essa soma para os primeiros termos para entender melhor o que está acontecendo.

Passo 4

Lembre-se que é a unidade imaginária, com a propriedade . Usando isso, vamos expandir os primeiros termos da série:
Simplificando cada termo:
Sabendo que , , , e assim por diante, podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos reais dos imaginários:
Parte Real:
Parte Imaginária:
Essas são exatamente as séries de potência do cosseno e do seno que a gente conhece!

Resposta

Assim, juntando as partes real e imaginária, temos que:

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