Resolva as seguintes equações como EDO
(d)

Passo 1

Resumo do exercício: Precisamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias, especificamente EDOs lineares de primeira ordem.
O que vamos precisar: Identificar a forma da equação, encontrar o fator integrante e resolver para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO linear:
Dividindo ambos os lados por para isolar :
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Agora a equação está na forma padrão:
onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante .

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de :
Fazendo a substituição , então :
Portanto:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)
Resolva as seguintes equações como EDO
(a)
Define-se , para a variável complexa , usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções e , deduza que:
Calcule . (onde ) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas: