Resolva as seguintes equações como EDO
(d)
(d)
Passo 1
Resumo do exercício: Precisamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias, especificamente EDOs lineares de primeira ordem.
O que vamos precisar: Identificar a forma da equação, encontrar o fator integrante e resolver para a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO linear:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Agora a equação está na forma padrão:
onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Calculando a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
:
Portanto:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)
(d)
Resolva as seguintes equações como EDO
(a)
(a)
Define-se
, para a variável complexa
, usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções
e
, deduza que:
Calcule
.
(onde
) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas: