Prove que cos alpha = (e^(i alpha) + e^(-i alpha)) / 2, sen alpha = (e^(i alpha) - e^(-i alpha)) / (2 i), onde alpha em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provarmos que e , onde é um número real. Para resolver isso, vamos usar a famosa Fórmula de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas. Vamos precisar entender como expressar e usando exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, lembra da Fórmula de Euler? Ela diz que:
E também podemos escrever o inverso:
Essas duas equações vão ser a base para provar as expressões que queremos.

Passo 3

Agora, vamos somar as duas equações de Euler:
Simplificamos os termos e vemos que os termos com se cancelam, sobrando apenas .

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por 2:
E voilà! Essa é exatamente a primeira equação que queríamos provar.

Passo 5

Agora, vamos fazer a subtração das duas equações de Euler:
Dessa vez, os termos com se cancelam, e sobramos com .

Passo 6

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :
E aí está! Provamos as duas expressões usando a Fórmula de Euler.

Resposta

As expressões e estão comprovadas usando a Fórmula de Euler.

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