Prove que
, sen
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provarmos que
e , onde
é um número real. Para resolver isso, vamos usar a famosa Fórmula de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas. Vamos precisar entender como expressar
e usando exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, lembra da Fórmula de Euler? Ela diz que:
E também podemos escrever o inverso:
Essas duas equações vão ser a base para provar as expressões que queremos.
Passo 3
Agora, vamos somar as duas equações de Euler:
Simplificamos os termos e vemos que os termos com se cancelam, sobrando apenas
.
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por 2:
E voilà! Essa é exatamente a primeira equação que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos fazer a subtração das duas equações de Euler:
Dessa vez, os termos com
se cancelam, e sobramos com .
Passo 6
Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por
:
E aí está! Provamos as duas expressões usando a Fórmula de Euler.
Resposta
As expressões
e estão comprovadas usando a Fórmula de Euler.
Exercícios relacionados
Calcule
.
(onde
) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas:
Define-se
, para a variável complexa
, usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções
e
, deduza que:
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
i)
i)
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
vi) 1
vi) 1