Calcule . (onde ) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular de duas maneiras diferentes. O conteúdo aqui é sobre números complexos e a fórmula de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender a fórmula de Euler e as propriedades da multiplicação de exponenciais.

Passo 2

Primeira forma: Vamos usar a propriedade das potências que diz que . Aplicando isso aqui, temos:
Agora, aplicando a fórmula de Euler nessa expressão:

Passo 3

Segunda forma: Vamos expandir e separadamente usando a fórmula de Euler:
Agora, multiplicamos essas duas expressões:
Fazendo a multiplicação (distribuindo cada termo):
Sabendo que , simplificamos:
Reorganizando:

Passo 4

Agora, como calculamos das duas formas, podemos igualar as duas expressões que encontramos:
Como duas expressões complexas são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais, temos:

Resposta

As fórmulas trigonométricas deduzidas são:

Exercícios relacionados

Define-se , para a variável complexa , usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções e , deduza que:
Resolva as seguintes equações como EDO
(d)
Prove que , sen , onde .
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
i)