Calcule e^i alpha. e^i beta (onde alpha, beta in R ) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas:
cos (alpha+beta)=cos alpha cdot cos beta-sen alpha cdot sen beta, sen(alpha+beta)=sen alpha cdot cos beta+cos alpha cdot sen beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular de duas maneiras diferentes. O conteúdo aqui é sobre números complexos e a fórmula de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender a fórmula de Euler e as propriedades da multiplicação de exponenciais.

Passo 2

Primeira forma: Vamos usar a propriedade das potências que diz que e^i alpha cdot e^i beta = e^i (alpha + beta) . Aplicando isso aqui, temos:
e^i (alpha + beta) = cos(alpha + beta) + i cdot sin(alpha + beta)
Agora, aplicando a fórmula de Euler nessa expressão:

Passo 3

Segunda forma: Vamos expandir e^i alpha = cos alpha + i cdot sin alpha e e^i beta = cos beta + i cdot sin beta separadamente usando a fórmula de Euler:
(cos alpha + i cdot sin alpha) cdot (cos beta + i cdot sin beta)
cos alpha cdot cos beta + cos alpha cdot i cdot sin beta + i cdot sin alpha cdot cos beta + i^2 cdot sin alpha cdot sin beta
Agora, multiplicamos essas duas expressões:
cos alpha cos beta + i (cos alpha sin beta + sin alpha cos beta) - sin alpha sin beta
Fazendo a multiplicação (distribuindo cada termo):
(cos alpha cos beta - sin alpha sin beta) + i (sin alpha cos beta + cos alpha sin beta)
Sabendo que , simplificamos:
Reorganizando:

Passo 4

Agora, como calculamos cos(alpha + beta) + i cdot sin(alpha + beta) = (cos alpha cos beta - sin alpha sin beta) + i (sin alpha cos beta + cos alpha sin beta) das duas formas, podemos igualar as duas expressões que encontramos:
cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
Como duas expressões complexas são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais, temos:
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta

Resposta

As fórmulas trigonométricas deduzidas são:
cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta

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