Calcule
.
(onde
) de duas formas distintas, para assim deduzir as conhecidas fórmulas trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular
de duas maneiras diferentes. O conteúdo aqui é sobre números complexos e a fórmula de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender a fórmula de Euler e as propriedades da multiplicação de exponenciais.
Passo 2
Primeira forma: Vamos usar a propriedade das potências que diz que
. Aplicando isso aqui, temos:
Agora, aplicando a fórmula de Euler nessa expressão:
Passo 3
Segunda forma: Vamos expandir
e
separadamente usando a fórmula de Euler:
Agora, multiplicamos essas duas expressões:
Fazendo a multiplicação (distribuindo cada termo):
Sabendo que
, simplificamos:
Reorganizando:
Passo 4
Agora, como calculamos
das duas formas, podemos igualar as duas expressões que encontramos:
Como duas expressões complexas são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais, temos:
Resposta
As fórmulas trigonométricas deduzidas são:
Exercícios relacionados
Define-se
, para a variável complexa
, usando a mesma série de a). A partir dessa definição e das séries de potência das funções
e
, deduza que:
Resolva as seguintes equações como EDO
(d)
(d)
Prove que
, sen
, onde
.
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
i)
i)