O que é uma função vetorial? Como calcular sua derivada e sua integral?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta está falando sobre funções vetoriais, que fazem parte do estudo de Cálculo Vetorial. Para responder, vamos precisar entender o que é uma função vetorial, como calcular sua derivada e sua integral.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função vetorial? Basicamente, é uma função que atribui um vetor a cada ponto de seu domínio. Em termos matemáticos, uma função vetorial no espaço 3D costuma ser escrita assim:
Aqui,
é um parâmetro, e
,
, e
são funções escalares que definem as componentes do vetor em cada instante de
.
Passo 3
Agora, vamos ver como calcular a derivada de uma função vetorial. A derivada de
em relação a
nos dá o vetor velocidade, que mostra como a posição muda com o tempo. Para derivar, basta derivar cada componente individualmente:
Isso significa que se
, então:
Passo 4
Por último, vamos ver como calcular a integral de uma função vetorial. A integral de
em relação a
nos dá o vetor posição acumulada ao longo de
. Para integrar, fazemos a integral de cada componente separadamente:
Onde
é o vetor constante de integração. Por exemplo, se
, então:
Resposta
Então, uma função vetorial associa vetores a pontos no domínio, e para calcular sua derivada ou integral, a gente deriva ou integra cada componente separadamente usando as regras do cálculo. Assim, conseguimos entender como a posição muda (derivada) ou acumula (integral) ao longo do parâmetro
.