O que é uma função vetorial? Como calcular sua derivada e sua integral?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está falando sobre funções vetoriais, que fazem parte do estudo de Cálculo Vetorial. Para responder, vamos precisar entender o que é uma função vetorial, como calcular sua derivada e sua integral.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função vetorial? Basicamente, é uma função que atribui um vetor a cada ponto de seu domínio. Em termos matemáticos, uma função vetorial no espaço 3D costuma ser escrita assim:
Aqui, é um parâmetro, e , , e são funções escalares que definem as componentes do vetor em cada instante de .

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular a derivada de uma função vetorial. A derivada de em relação a nos dá o vetor velocidade, que mostra como a posição muda com o tempo. Para derivar, basta derivar cada componente individualmente:
Isso significa que se , então:

Passo 4

Por último, vamos ver como calcular a integral de uma função vetorial. A integral de em relação a nos dá o vetor posição acumulada ao longo de . Para integrar, fazemos a integral de cada componente separadamente:
Onde é o vetor constante de integração. Por exemplo, se , então:

Resposta

Então, uma função vetorial associa vetores a pontos no domínio, e para calcular sua derivada ou integral, a gente deriva ou integra cada componente separadamente usando as regras do cálculo. Assim, conseguimos entender como a posição muda (derivada) ou acumula (integral) ao longo do parâmetro .

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