Da definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz. Determine a equação cartesiana da parábola de foco em (3, 2) e diretriz a reta x = 4. Assinale a alternativa correta: Escolha uma:
a. 1/4 (y – 2)² + 5/2
b. -1/4 (y - 2)² + 7/4
c. 1/3 (y - 2)² + 5/3
d. 1/5 (y – 2)² + 7/3
e. -1/2 (y - 2)² + 7/2
a. 1/4 (y – 2)² + 5/2
b. -1/4 (y - 2)² + 7/4
c. 1/3 (y - 2)² + 5/3
d. 1/5 (y – 2)² + 7/3
e. -1/2 (y - 2)² + 7/2
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para encontrar a equação cartesiana de uma parábola cujo foco está no ponto (3, 2) e a diretriz é a reta $ x = 4 $. Para isso, vamos usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto genérico $ (x, y) $ na parábola. A distância desse ponto ao foco $ (3, 2) $ é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 3
A distância do ponto $ (x, y) $ à diretriz $ x = 4 $ é simplesmente a diferença absoluta entre suas coordenadas x:
Passo 4
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, igualamos as duas expressões:
Passo 5
Para facilitar a resolução, vamos remover a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 7
Simplificando a equação, cancelamos $ x^2 $ dos dois lados e reorganizamos os termos:
Passo 8
Isolando os termos com $ x $ e os demais termos, temos:
Passo 9
Resolvendo para $ x $, dividimos tudo por 2:
Resposta
A equação cartesiana da parábola é $ x = -\frac{1}{2}(y - 2)^2 + \frac{7}{2} $. Portanto, a alternativa correta é a e.