O reservatório é cilíndrico com uma área de seção transversal de
. Se a profundidade em
é 5 m , plote a profundidade da água em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório cilíndrico com uma área de seção transversal de
. A demanda de água, ou seja, a quantidade de água que sai do reservatório por segundo, é dada pela fórmula:
Também sabemos que a profundidade da água no reservatório no tempo
é de 5 metros. Nosso objetivo é encontrar e plotar a profundidade da água
em função do tempo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e integração, já que queremos saber como a profundidade muda ao longo do tempo com base na demanda de água.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a profundidade da água
com o volume de água no reservatório. Como o reservatório é cilíndrico, o volume
de água é dado por:
onde
é a área da seção transversal.
Passo 3
A próxima etapa é entender como o volume de água muda ao longo do tempo. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é igual à demanda de água negativa (porque a água está saindo):
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para facilitar a integração:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que
:
Como
:
Passo 9
Portanto, a expressão final para a profundidade da água em função do tempo é:
Podemos simplificar a expressão combinando os termos constantes:
Resposta
A profundidade da água em função do tempo é dada por: