O reservatório é cilíndrico com uma área de seção transversal de . Se a profundidade em é 5 m , plote a profundidade da água em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório cilíndrico com uma área de seção transversal de ². A demanda de água, ou seja, a quantidade de água que sai do reservatório por segundo, é dada pela fórmula:
Também sabemos que a profundidade da água no reservatório no tempo é de 5 metros. Nosso objetivo é encontrar e plotar a profundidade da água em função do tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e integração, já que queremos saber como a profundidade muda ao longo do tempo com base na demanda de água.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a profundidade da água com o volume de água no reservatório. Como o reservatório é cilíndrico, o volume de água é dado por:
onde ² é a área da seção transversal.

Passo 3

A próxima etapa é entender como o volume de água muda ao longo do tempo. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é igual à demanda de água negativa (porque a água está saindo):
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos isolar para facilitar a integração:
Substituindo ²:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:
Calculando :
Então:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que :
Como :

Passo 9

Portanto, a expressão final para a profundidade da água em função do tempo é:
Podemos simplificar a expressão combinando os termos constantes:

Resposta

A profundidade da água em função do tempo é dada por:

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