Demanda(m^3 / s)=0.20 times[1-Cos(pi t43200)]
O reservatório é cilíndrico com uma área de seção transversal de 1000 m^2. Se a profundidade em t=0 é 5 m , plote a profundidade da água em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório cilíndrico com uma área de seção transversal de Demanda(m^3 / s)=0.20 times[1-Cos(pi t43200)] ². A demanda de água, ou seja, a quantidade de água que sai do reservatório por segundo, é dada pela fórmula:
Também sabemos que a profundidade da água no reservatório no tempo é de 5 metros. Nosso objetivo é encontrar e plotar a profundidade da água em função do tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e integração, já que queremos saber como a profundidade muda ao longo do tempo com base na demanda de água.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a profundidade da água V(t) = A times h(t) com o volume de água no reservatório. Como o reservatório é cilíndrico, o volume de água é dado por:
onde ² é a área da seção transversal.

Passo 3

A próxima etapa é entender como o volume de água muda ao longo do tempo. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é igual à demanda de água negativa (porque a água está saindo):
dV(t)dt = - Demanda(t)
Substituindo A dh(t)dt = -0.20 times [1 - cos(pi t43200)] :

Passo 4

Agora, vamos isolar dh(t)dt = -0.20A times [1 - cos(pi t43200)] para facilitar a integração:
dh(t)dt = -0.201000 times [1 - cos(pi t43200)]
Substituindo dh(t)dt = -0.0002 times [1 - cos(pi t43200)] ²:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar integral dh(t)dt , dt = -0.0002 integral [1 - cos(pi t43200)] dt , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo h(t) = -0.0002 integral [1 - cos(pi t43200)] dt + C :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral [1 - cos(pi t43200)] dt = integral 1 , dt - integral cos(pi t43200) dt
Integrando termo a termo:
= t - (43200pi) sin(pi t43200) + C

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de h(t) = -0.0002 [ t - (43200pi) sin(pi t43200) ] + C :
h(t) = -0.0002 t + (0.0002 times 43200pi) sin(pi t43200) + C
Simplificando:
0.0002 times 43200pi approx 8.64pi approx 2.75
Calculando h(t) = -0.0002 t + 2.75 sin(pi t43200) + C :
Então:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar 5 = -0.0002 times 0 + 2.75 sin(pi times 043200) + C . Sabemos que 5 = 0 + 0 + C Rightarrow C = 5 :
Como :

Passo 9

Portanto, a expressão final para a profundidade da água em função do tempo é:
h(t) = -0.0002 t + 2.75 sin(pi t43200) + 5
Podemos simplificar a expressão combinando os termos constantes:
h(t) = 5 - 0.0002 t + 2.75 sin(pi t43200)

Resposta

A profundidade da água em função do tempo é dada por:
h(t) = 5 - 0.0002, t + 2.75, sin(pi t43200)

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