Seja X o resultado da jogada de uma moeda equilibrada.
a) Determine a função geratriz de momentos de X .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre o resultado de uma jogada de moeda equilibrada, ou seja, uma moeda justa onde as chances de dar cara ou coroa são iguais. O conteúdo que vamos usar aqui é a função geradora de momentos (FGM), que nos ajuda a resumir todas as informações sobre uma variável aleatória. Para resolver esse exercício, precisamos entender o que é a FGM e como aplicá-la a uma variável aleatória discreta, como o resultado de uma jogada de moeda.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória . Nesse caso, representa o resultado da jogada da moeda. Como a moeda é equilibrada, temos duas possibilidades:
  • (por exemplo, coroa)
  • (por exemplo, cara)
Cada resultado tem a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória MX(t) = E[e^tX] é definida como:
Isso significa que calculamos a expectativa do exponencial de vezes a variável aleatória . Para uma variável discreta, isso se traduz na soma dos produtos do valor de pela probabilidade de cada .

Passo 4

Aplicando essa definição ao nosso caso, temos:
MX(t) = sumx e^tx P(X = x)
Como MX(t) = e^t cdot 0 cdot P(X=0) + e^t cdot 1 cdot P(X=1) pode ser 0 ou 1, a soma fica:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
MX(t) = e^0 cdot 0.5 + e^t cdot 0.5
Lembrando que MX(t) = 1 cdot 0.5 + e^t cdot 0.5 = 0.5 + 0.5e^t , simplificamos:

Resposta

A função geradora de momentos de MX(t) = 0.5 + 0.5, e^t é:

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