Seja X o resultado da jogada de uma moeda equilibrada.
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre o resultado de uma jogada de moeda equilibrada, ou seja, uma moeda justa onde as chances de dar cara ou coroa são iguais. O conteúdo que vamos usar aqui é a função geradora de momentos (FGM), que nos ajuda a resumir todas as informações sobre uma variável aleatória. Para resolver esse exercício, precisamos entender o que é a FGM e como aplicá-la a uma variável aleatória discreta, como o resultado de uma jogada de moeda.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
. Nesse caso,
representa o resultado da jogada da moeda. Como a moeda é equilibrada, temos duas possibilidades:
-
(por exemplo, coroa) -
(por exemplo, cara)
Cada resultado tem a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória
é definida como:
Isso significa que calculamos a expectativa do exponencial de
vezes a variável aleatória
. Para uma variável discreta, isso se traduz na soma dos produtos do valor de
pela probabilidade de cada
.
Passo 4
Aplicando essa definição ao nosso caso, temos:
Como
pode ser 0 ou 1, a soma fica:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos:
Lembrando que
, simplificamos:
Resposta
A função geradora de momentos de
é: