Foi instituído um programa de crédito subsidiado para a aquisção da casa própria destinado a famílias de baixa renda de uma certa região. Ocorre que nem todos os beneficiários desse tipo de financiamento de fato pagam o que devem. Por isso, foi decidido que o programa seria imediatamente interrompido a partir do momento em que se constatasse que 10 dos beneficiários não estavam honrando seus compromissos. Se p é a proporção de maus pagadores na população considerada, calcule a probabilidade de que o programa chegará a conceder pelo menos 50 desses

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um programa de crédito para a casa própria destinado a famílias de baixa renda. O programa vai parar quando 10 pessoas não pagarem o que devem. Queremos calcular a probabilidade de que o programa consiga conceder pelo menos 50 financiamentos antes de ser interrompido.
Matéria Envolvida: Probabilidade e Distribuições Binomiais
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de probabilidade binomial. Precisamos calcular a chance de que, em 50 financiamentos, menos de 10 pessoas não paguem (ou seja, sejam “maus pagadores”). Se isso acontecer, o programa ainda estará funcionando após 50 financiamentos.

Passo 2

Definindo a Distribuição Binomial
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa. No nosso caso:
  • Número de tentativas (n): 50 financiamentos
  • Número de “sucessos” (k): Mau pagadores (menos de 10)
  • Probabilidade de sucesso §: Proporção de maus pagadores na popula��ão

Passo 3

Calculando a Probabilidade
Queremos a probabilidade de que, em 50 financiamentos, haja menos de 10 maus pagadores. Isso significa calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 9 maus pagadores.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial
  • é a probabilidade de ter maus pagadores
  • é a probabilidade de ter bons pagadores

Passo 4

Somando as Probabilidades
A probabilidade total que queremos é:
P(até 9 maus pagadores) = sumk=0^9 binom50k p^k (1-p)^50-k é
Isso significa que somamos a probabilidade de ter 0 maus pagadores, 1 maus pagador, …, até 9 maus pagadores.

Passo 5

Interpretando o Resultado
Essa soma nos dará a probabilidade de que o programa consiga continuar além de 50 financiamentos, ou seja, que não atinja 10 maus pagadores antes disso.

Resposta

A probabilidade de que o programa conceda pelo menos 50 financiamentos antes de ser interrompido é:
P = sumk=0^9 binom50k p^k (1-p)^50-k
Isso significa que somamos as probabilidades de ter de 0 até 9 maus pagadores nos 50 financiamentos.

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