Seja
a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que
. Caso a barra apresente carga de ruptura
, a mesma dá um lucro de
ao fabricante. Porém, se
a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a
.
c) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a.
.
c) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a esperança, a variância e o desvio padrão da variável aleatória
. A situação é a seguinte: temos uma barra de aço com carga de ruptura
que segue uma distribuição normal
. Dependendo do valor de
, o lucro
é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, distribuição normal e propriedades de esperança e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
. A definição é:
Ou seja, se a carga de ruptura for maior ou igual a 95, o lucro é de R$25,00. Caso contrário, é de R$10,00.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as probabilidades de cada caso acontecer. Como
segue uma distribuição normal
, podemos padronizar para encontrar essas probabilidades.
A média
e o desvio padrão
. Vamos calcular o valor de
correspondente a
:
Queremos encontrar
.
Passo 4
Utilizando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que
devido à simetria da curva normal.
Portanto,
E,
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança
. A esperança é a média ponderada dos possíveis valores de
multiplicados pelas respectivas probabilidades.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular
, que é a média ponderada dos quadrados dos valores de
.
Passo 7
Agora, podemos encontrar a variância
usando a fórmula:
Passo 8
Por fim, o desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A esperança de
é aproximadamente
, a variância é
e o desvio padrão é
.
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. Se a profundidade em
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a) Determine a função geratriz de momentos de X .
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja,
. Calcule as seguintes probabilidades:
g) .
g)