Seja a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que . Caso a barra apresente carga de ruptura , a mesma dá um lucro de ao fabricante. Porém, se a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a .
c) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a. .

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a esperança, a variância e o desvio padrão da variável aleatória . A situação é a seguinte: temos uma barra de aço com carga de ruptura que segue uma distribuição normal . Dependendo do valor de , o lucro é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, distribuição normal e propriedades de esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como depende de . A definição é:
Ou seja, se a carga de ruptura for maior ou igual a 95, o lucro é de R$25,00. Caso contrário, é de R$10,00.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as probabilidades de cada caso acontecer. Como segue uma distribuição normal , podemos padronizar para encontrar essas probabilidades.
A média e o desvio padrão . Vamos calcular o valor de correspondente a :
Queremos encontrar .

Passo 4

Utilizando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que devido à simetria da curva normal.
Portanto,
E,

Passo 5

Agora, vamos calcular a esperança . A esperança é a média ponderada dos possíveis valores de multiplicados pelas respectivas probabilidades.

Passo 6

Em seguida, vamos calcular , que é a média ponderada dos quadrados dos valores de .

Passo 7

Agora, podemos encontrar a variância usando a fórmula:

Passo 8

Por fim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A esperança de é aproximadamente , a variância é e o desvio padrão é .

Exercícios relacionados

O reservatório é cilíndrico com uma área de seção transversal de . Se a profundidade em é 5 m , plote a profundidade da água em função do tempo.
Foi instituído um programa de crédito subsidiado para a aquisção da casa própria destinado a famílias de baixa renda de uma certa região. Ocorre que nem todos os beneficiários desse tipo de financiamento de fato pagam o que devem. Por isso, foi decidido que o programa seria imediatamente interrompido a partir do momento em que se constatasse que 10 dos beneficiários não estavam honrando seus compromissos. Se p é a proporção de maus pagadores na população considerada, calcule a probabilidade de que o programa chegará a conceder pelo menos 50 desses
Seja X o resultado da jogada de uma moeda equilibrada.
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, . Calcule as seguintes probabilidades:
g) .