A demanda diária por um produto em uma loja de varejo segue uma distribuição normal com média de 100 unidades e desvio padrão de 15 unidades.
(b) Suponha agora que o tempo de reposição do produto siga uma distribuição lognormal com média de 5 dias e desvio padrão de 2 dias. Qual a probabilidade de que o tempo de reposição seja superior a 7 dias?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos que o tempo de reposição de um produto segue uma distribuição lognormal com média de 5 dias e desvio padrão de 2 dias. Queremos descobrir qual a probabilidade desse tempo ser superior a 7 dias.
Pra resolver isso, a gente precisa saber um pouco sobre a distribuição lognormal e como relacionar a média e o desvio padrão dessa distribuição com os parâmetros da distribuição normal associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição lognormal. Se uma variável aleatória segue uma distribuição lognormal, isso significa que o logaritmo natural de (ou seja, ) segue uma distribuição normal.
Então, se , então .

Passo 3

A gente sabe que a média ( E[T] = e^mu + sigma^22 ) e o desvio padrão ( Var[T] = (e^sigma^2 - 1) e^2mu + sigma^2 ) da distribuição lognormal estão relacionadas aos parâmetros e da distribuição normal associada da seguinte forma:
Como temos a média e o desvio padrão , podemos calcular a variância .

Passo 4

Vamos usar essas equações pra achar 5 = e^mu + sigma^22 e 4 = (e^sigma^2 - 1) e^2mu + sigma^2 .
Primeiro, da equação da média:
E da equação da variância:
Podemos resolver essas duas equações para encontrar e .

Passo 5

Vamos começar isolando e^mu + sigma^22 = 5 na primeira equação:
4 = (e^sigma^2 - 1) e^2mu + sigma^2
Agora, da segunda equação:
4 = (e^sigma^2 - 1) times 25
Sabemos que e^sigma^2 - 1 = 425 = 0.16 .
Então:
e^sigma^2 = 1.16

Passo 6

Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para encontrar sigma^2 = ln(1.16) approx 0.14842 :
sigma = raiz0.14842 approx 0.385
Então,

Passo 7

Com mu = ln(5) - sigma^22 approx ln(5) - 0.148422 approx 1.6094 - 0.07421 = 1.5352 conhecido, voltamos na equação da média para encontrar :

Passo 8

Agora que temos ln(7) approx 1.94591 e Z = ln(7) - musigma = 1.94591 - 1.53520.385 approx 1.3 , podemos calcular a probabilidade de o tempo de reposição ser superior a 7 dias. Primeiro, transformamos 7 dias usando o logaritmo natural:
Calculamos o valor da distribuição normal padrão:

Passo 9

Finalmente, usamos a tabela da distribuição normal padrão (ou uma calculadora) para encontrar P(T > 7) = 1 - Phi(1.3) approx 1 - 0.9032 = 0.0968 ou 9.7% . Sabemos que , então:

Resposta

A probabilidade de que o tempo de reposição seja superior a 7 dias é de aproximadamente 9,7%.

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