Suponha que X seja distribuída normalmente, com média de 5 e desvio-padrão de 4 . Determine:
P(3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média mu = 5 e desvio-padrão sigma = 4. Queremos encontrar a probabilidade de X estar entre 3 e 7, ou seja, P(3 < X < 7). Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Para calcular essa probabilidade, precisamos transformar a variável X em uma variável padrão Z, que segue uma distribuição normal com média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula para essa padronização é:
Z = X - musigma

Passo 3

Aplicando a fórmula para os valores de 3 e 7:
Para X = 3:
Z1 = 3 - 54 = -24 = -0,5
Para X = 7:
Z2 = 7 - 54 = 24 = 0,5

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -0,5 e 0,5, ou seja, P(-0,5 < Z < 0,5). Isso corresponde à área sob a curva normal padrão entre esses dois valores de Z.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z), encontramos as probabilidades acumuladas:
P(Z < 0,5) approx 0,6915
P(Z < -0,5) approx 0,3085

Passo 6

A probabilidade desejada é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0,5 < Z < 0,5) = P(Z < 0,5) - P(Z < -0,5) = 0,6915 - 0,3085 = 0,3830

Resposta

A probabilidade de X estar entre 3 e 7 é aproximadamente 0,3830, ou seja, 38,30%.

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