Uma máquina de corte funciona de maneira contínua durante um turno de 8 horas. O tempo necessário para ajustar a máquina entre um lote e outro é uniformemente distribuído entre 10 e 20 minutos. Qual a probabilidade de que o ajuste da máquina leve menos de 12 minutos?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina de corte que funciona durante 8 horas contínuas. O tempo que a máquina leva para ajustar de um lote para outro varia de maneira uniforme entre 10 e 20 minutos. A gente precisa descobrir qual a probabilidade desse ajuste levar menos de 12 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Nesse caso, a distribuição uniforme significa que qualquer tempo dentro do intervalo de 10 a 20 minutos é igualmente provável. A função de densidade de probabilidade (PDF) para uma distribuição uniforme f(x) = 1b - a é dada por:
onde é o limite inferior e é o limite superior do intervalo.

Passo 3

No nosso problema, o intervalo é de 10 a 20 minutos, então f(x) = 120 - 10 = 110 e . A PDF fica:
Isso significa que a probabilidade é constante ao longo desse intervalo.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de o ajuste levar menos de 12 minutos, ou seja, P(c < X < d) = d - cb - a . Para distribuições uniformes, a probabilidade de P(X < 12) = 12 - 1020 - 10 = 210 = 0,2 estar entre e dentro de é:
No nosso caso, , , e . Então:

Resposta

A probabilidade de o ajuste da máquina levar menos de 12 minutos é de 20%.

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