Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que é igual a . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como as relações entre seno, cosseno, cosssecante e cotangente. Vamos precisar lembrar que e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo da equação usando as definições de e . Assim:
Então, a expressão inicial fica:

Passo 3

Como os dois termos têm o mesmo denominador, podemos simplificar a subtração:
Agora, vamos focar no numerador . Podemos fatorar isso usando a diferença de potências.

Passo 4

Lembrando que pode ser escrito como .
Sabemos que (pela identidade fundamental da trigonometria). Então:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Vamos reescrever de uma forma que facilite a simplificação. Podemos notar que:
Então, a expressão fica:
Vamos agora dividir cada termo do numerador por :

Passo 6

Sabemos que e . Portanto:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos relacionar essa expressão com o lado direito da identidade que queremos provar: .
Perceba que:
Substituindo na expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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