Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que
é igual a
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como as relações entre seno, cosseno, cosssecante e cotangente. Vamos precisar lembrar que e .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada termo da equação usando as definições de
e
. Assim:
Então, a expressão inicial fica:
Passo 3
Como os dois termos têm o mesmo denominador, podemos simplificar a subtração:
Agora, vamos focar no numerador
. Podemos fatorar isso usando a diferença de potências.
Passo 4
Lembrando que
pode ser escrito como
.
Sabemos que (pela identidade fundamental da trigonometria). Então:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Vamos reescrever
de uma forma que facilite a simplificação. Podemos notar que:
Então, a expressão fica:
Vamos agora dividir cada termo do numerador por :
Passo 6
Sabemos que e . Portanto:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos relacionar essa expressão com o lado direito da identidade que queremos provar:
.
Perceba que:
Substituindo na expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.
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