Seja T: R^3 R^3, onde [T]=(ccc3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1): Encontre [T]beta^beta, onde beta é a base beta=(1,0,0),(0,1,0),(4,-5,4), e[T(v)]beta onde v=(2,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 que atua no espaço e é representada pela matriz . A base que estamos usando é . Precisamos descobrir duas coisas:
  1. A matriz de na base , ou seja, .
  2. A representação de na base , onde .
Vamos precisar entender como trocar de base e como representar a transformação nessa nova base.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de P = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 4 para a base padrão (que é ). A matriz de mudança de base tem como colunas os vetores da base . Então,

Passo 3

Agora, para encontrar [T]beta^beta = P^-1 [T] P , usamos a fórmula:
Ou seja, precisamos calcular a inversa de , multiplicar pela matriz de e depois novamente por .

Passo 4

Vamos calcular a inversa de P^-1 = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 54 0 & 0 & 14 . Como é uma matriz triangular inferior, calcular a inversa é mais simples. Depois de calcular, encontramos:

Passo 5

Agora, multiplica P^-1 [T] = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 54 0 & 0 & 14 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 = 3 & 0 & -3 0 & 3 & 0 0 & 0 & -14 pela matriz :

Passo 6

Agora, multiplicamos o resultado acima por [T]beta^beta = 3 & 0 & -3 0 & 3 & 0 0 & 0 & -14 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 4 = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 :

Passo 7

Então, a matriz de [T]beta^beta = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 na base é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar T(v) = [T] cdot v = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 2 2 1 = 3 cdot 2 + 0 cdot 2 + (-4) cdot 1 0 cdot 2 + 3 cdot 2 + 5 cdot 1 0 cdot 2 + 0 cdot 2 + (-1) cdot 1 = 2 11 -1 , onde . Primeiro, encontramos usando a matriz :

Passo 9

Agora, para encontrar 2(1,0,0) + 11(0,1,0) + c(4,-5,4) = (2,11,-1) , precisamos expressar na base . Isso significa resolver a equação:
Resolvendo para , encontramos .

Passo 10

Assim, a representação de [T(v)]beta = 2 11 -54 na base é:

Resposta

A matriz de [T]beta^beta = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 na base [T(v)]beta = 2 11 -54 é:
E a representação de na base é:

Exercícios relacionados

Ex. 1. Simplifique as expressões:
(m) x^3+x^2 y+2 x y^2-y^3-(x^3+3 x^2 y+4 x y^2-7 y^3);
A transformação linear T: P3 P2 dada por T(p(x))=p^prime prime(x) é injetiva? É sobrejetiva?
Demonstrar que sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.
Ex. 2. Simplifique:
(a) 3(x+2)-5 ;