Seja , onde : Encontre [T]beta^beta, onde beta é a base beta=(1,0,0),(0,1,0),(4,-5,4), e[T(v)]beta onde v=(2,2,1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 que atua no espaço e é representada pela matriz . A base que estamos usando é . Precisamos descobrir duas coisas:
A matriz de na base , ou seja, .
A representação de na base , onde .
Vamos precisar entender como trocar de base e como representar a transformação nessa nova base.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de P = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 4 para a base padrão (que é ). A matriz de mudança de base tem como colunas os vetores da base . Então,
Passo 3
Agora, para encontrar [T]beta^beta = P^-1 [T] P , usamos a fórmula:
Ou seja, precisamos calcular a inversa de , multiplicar pela matriz de e depois novamente por .
Passo 4
Vamos calcular a inversa de P^-1 = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 54 0 & 0 & 14 . Como é uma matriz triangular inferior, calcular a inversa é mais simples. Depois de calcular, encontramos: