Demonstrar que, sendo
e
vetores dois a dois ortogonais, então:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores,
,
e
, que são dois a dois ortogonais. Isso significa que cada par desses vetores forma um ângulo de 90 graus, ou seja, o produto interno entre eles é zero (
,
,
). A matéria que vamos usar aqui é a álgebra vetorial, especificamente propriedades de vetores ortogonais e o cálculo da norma de uma soma de vetores. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar a definição de norma de um vetor e expandir a expressão do quadrado da norma da soma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é dada por:
Então, o quadrado da norma é:
Passo 3
Queremos encontrar o quadrado da norma da soma dos três vetores, ou seja,
. Pela definição, isso é igual ao produto interno da soma dos vetores consigo mesma:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa expressão usando as propriedades do produto interno:
Passo 5
Como os vetores são dois a dois ortogonais, sabemos que:
Portanto, todos os termos que envolvem produtos entre vetores diferentes desaparecem:
Passo 6
Restam apenas os termos com os vetores multiplicados por si mesmos:
Resposta
Portanto, mostramos que: