Demonstrar que, sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então:
|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores, , e , que são dois a dois ortogonais. Isso significa que cada par desses vetores forma um ângulo de 90 graus, ou seja, o produto interno entre eles é zero ( , , ). A matéria que vamos usar aqui é a álgebra vetorial, especificamente propriedades de vetores ortogonais e o cálculo da norma de uma soma de vetores. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar a definição de norma de um vetor e expandir a expressão do quadrado da norma da soma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |a| = raiza cdot a é dada por:
|a|^2 = a cdot a
Então, o quadrado da norma é:

Passo 3

Queremos encontrar o quadrado da norma da soma dos três vetores, ou seja, |u + v + w|^2 = (u + v + w) cdot (u + v + w) . Pela definição, isso é igual ao produto interno da soma dos vetores consigo mesma:

Passo 4

Agora, vamos expandir essa expressão usando as propriedades do produto interno:
(u + v + w) cdot (u + v + w) = u cdot u + u cdot v + u cdot w + v cdot u + v cdot v + v cdot w + w cdot u + w cdot v + w cdot w

Passo 5

Como os vetores são dois a dois ortogonais, sabemos que:
u cdot v = 0, u cdot w = 0, v cdot w = 0
Portanto, todos os termos que envolvem produtos entre vetores diferentes desaparecem:
u cdot v = u cdot w = v cdot w = 0

Passo 6

Restam apenas os termos com os vetores multiplicados por si mesmos:
u cdot u + v cdot v + w cdot w = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u + v + w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Exercícios relacionados