Dados os vetores u=(2,-3,-1) e v=(1,-1,4), calcule:
(u+v) cdot(u-v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores, u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4), e precisamos calcular o produto escalar de (u + v) com (u - v). Para isso, vamos usar as operações de soma e subtração de vetores e o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores u e v. A soma de vetores é feita somando componente por componente. Então:
u + v = (2 + 1,; -3 + (-1),; -1 + 4) = (3, -4, 3)

Passo 3

Agora, vamos subtrair o vetor v do vetor u. A subtração de vetores também é feita componente por componente:
u - v = (2 - 1,; -3 - (-1),; -1 - 4) = (1, -2, -5)

Passo 4

Com as somas e subtrações feitas, vamos calcular o produto escalar dos dois vetores resultantes. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(u + v) cdot (u - v) = (3)(1) + (-4)(-2) + (3)(-5) = 3 + 8 - 15

Resposta

O valor final é -4.

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