Demonstrar que , se underset=tau e = são tensores simétrico e anti-simétrico, respectivamente.
Passo 1
Então, pessoal, o exercício quer que a gente mostre que o produto entre um tensor simétrico underset=tau e um tensor anti-simétrico = é igual a zero. Estamos lidando com álgebra tensorial, e para resolver isso, vamos precisar entender o que são tensores simétricos e anti-simétricos e como funciona o produto entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um tensor ser simétrico ou anti-simétrico. Um tensor simétrico satisfaz que trocar qualquer par de índices não altera o tensor. Em outras palavras, para , temos:
Passo 3
Já um tensor anti-simétrico muda de sinal quando trocamos os índices. Para =ij, isso significa:
=ij = -=ji
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto entre os dois tensores, que é uma contração sobre os índices. Em notação de componente, isso fica:
Passo 5
Vamos usar as propriedades de simetria e anti-simetria dos tensores nessa expressão. Substituindo, temos:
Mas, como e underset=tauij =ij = underset=tauji =ij , substituindo:
Passo 6
Observamos que:
Mas, renomeando os índices na segunda parte (já que são índices somados, isto é, variáveis de soma), temos:
O que nos leva a:
underset=tauij =ij = -underset=tauij =ji
Passo 7
Isso só é possível se:
underset=tau : = = 0
Portanto, mostramos que o produto entre um tensor simétrico e um tensor anti-simétrico é igual a zero.