Demonstrar que underset=tau: ==0, se underset=tau e = são tensores simétrico e anti-simétrico, respectivamente.

Passo 1

Então, pessoal, o exercício quer que a gente mostre que o produto entre um tensor simétrico underset=tau e um tensor anti-simétrico = é igual a zero. Estamos lidando com álgebra tensorial, e para resolver isso, vamos precisar entender o que são tensores simétricos e anti-simétricos e como funciona o produto entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um tensor ser simétrico ou anti-simétrico. Um tensor simétrico satisfaz que trocar qualquer par de índices não altera o tensor. Em outras palavras, para , temos:

Passo 3

Já um tensor anti-simétrico muda de sinal quando trocamos os índices. Para =ij, isso significa:
=ij = -=ji

Passo 4

Agora, vamos analisar o produto entre os dois tensores, que é uma contração sobre os índices. Em notação de componente, isso fica:

Passo 5

Vamos usar as propriedades de simetria e anti-simetria dos tensores nessa expressão. Substituindo, temos:
Mas, como e underset=tauij =ij = underset=tauji =ij , substituindo:

Passo 6

Observamos que:
Mas, renomeando os índices na segunda parte (já que são índices somados, isto é, variáveis de soma), temos:
O que nos leva a:
underset=tauij =ij = -underset=tauij =ji

Passo 7

Isso só é possível se:
underset=tau : = = 0
Portanto, mostramos que o produto entre um tensor simétrico e um tensor anti-simétrico é igual a zero.

Resposta

underset=tau : = = 0

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