Um iô iô demonstrativo é composto de um aro de raio 0,080 m e massa 0,180kg com diversas voltas de fio enroladas sobre ele. Se a extremidade do fio fica fixa na mão e o aro é solto a partir do repouso calcule:
a) A tensão no fio enquanto o iô iô desce desenrolando o fio.
b) A velocidade angular do aro no momento que ele desceu 0,750 m.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um iô-iô com um aro de raio e massa , com fio enrolado ao redor dele. A extremidade do fio está fixa na mão, e o aro é solto a partir do repouso. Precisamos calcular:
a) A tensão no fio enquanto o iô-iô desce desenrolando o fio.
b) A velocidade angular do aro quando ele desceu .
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e energia mecânica. Precisaremos aplicar as leis de Newton para rotação e utilizar as equações do movimento rotacional.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que pede a tensão no fio enquanto o iô-iô desce. Primeiro, precisamos entender as forças atuando no iô-iô.
Quando o iô-iô desce, duas forças principais estão em jogo:
  1. Força gravitacional ( ): que puxa o iô-iô para baixo e é dada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Tensão no fio ( ): que age para cima, contra a força gravitacional.
Além disso, o fio enrolado no aro faz com que o iô-iô gire enquanto desce. Isso significa que estamos lidando com movimento rotacional ao mesmo tempo em que há movimento translacional.

Passo 3

Para relacionar a tensão no fio com a aceleração do iô-iô, vamos usar a segunda lei de Newton para a tradução e para a rotação.
Para a tradução (movimento linear):
Fres = m cdot a
Onde m cdot g - T = m cdot a é a força resultante, tau = I cdot alpha é a massa e tau = T cdot r é a aceleração linear.
As forças atuantes são a força gravitacional para baixo e a tensão no fio para cima:
I = m cdot r^2
(1)
Para a rotação:
A força de tensão também cria um torque ( a = alpha cdot r ) no aro, que causa aceleração angular ( ):
Onde é o torque, é o momento de inércia do aro, e é a aceleração angular.
O torque causado pela tensão é:
(2)
Onde é o raio do aro.
O momento de inércia ( ) de um aro é dado por:
(3)
Além disso, a aceleração linear ( ) e a aceleração angular ( ) estão relacionadas pela equação:
(4)

Passo 4

Agora, vamos substituir as equações para encontrar a tensão alpha = ar .
Primeiro, da equação (4):
T cdot r = I cdot ( ar )
Substituindo na equação (2):
T cdot r = m cdot r^2 cdot ( ar )
T = m cdot a
m cdot g - m cdot a = m cdot a
(5)
Agora, substituindo m cdot g = 2 cdot m cdot a na equação (1):
g = 2 cdot a
a = g2
T = m cdot g2
T = m cdot g2
Finalmente, substituindo em :

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Dados:
  • Massa T = 0,180,kg cdot 9,8,m/s^22
  • T = 1,764,N2
Substituindo na fórmula da tensão:
T = 0,882,N

Resposta

a) A tensão no fio enquanto o iô-iô desce desenrolando o fio é de 0,882 N.

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