Um iô iô demonstrativo é composto de um aro de raio
e massa 0,180kg com diversas voltas de fio enroladas sobre ele. Se a extremidade do fio fica fixa na mão e o aro é solto a partir do repouso calcule:
a) A tensão no fio enquanto o iô iô desce desenrolando o fio.
b) A velocidade angular do aro no momento que ele desceu
.
a) A tensão no fio enquanto o iô iô desce desenrolando o fio.
b) A velocidade angular do aro no momento que ele desceu
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um iô-iô com um aro de raio
e massa
, com fio enrolado ao redor dele. A extremidade do fio está fixa na mão, e o aro é solto a partir do repouso. Precisamos calcular:
a) A tensão no fio enquanto o iô-iô desce desenrolando o fio.
b) A velocidade angular do aro quando ele desceu
.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e energia mecânica. Precisaremos aplicar as leis de Newton para rotação e utilizar as equações do movimento rotacional.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), que pede a tensão no fio enquanto o iô-iô desce. Primeiro, precisamos entender as forças atuando no iô-iô.
Quando o iô-iô desce, duas forças principais estão em jogo:
-
Força gravitacional (
): que puxa o iô-iô para baixo e é dada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ). -
Tensão no fio (
): que age para cima, contra a força gravitacional.
Além disso, o fio enrolado no aro faz com que o iô-iô gire enquanto desce. Isso significa que estamos lidando com movimento rotacional ao mesmo tempo em que há movimento translacional.
Passo 3
Para relacionar a tensão no fio com a aceleração do iô-iô, vamos usar a segunda lei de Newton para a tradução e para a rotação.
Para a tradução (movimento linear):
Onde
é a força resultante,
é a massa e
é a aceleração linear.
As forças atuantes são a força gravitacional para baixo e a tensão no fio para cima:
(1)
Para a rotação:
A força de tensão também cria um torque ( ) no aro, que causa aceleração angular (
):
A força de tensão também cria um torque (
Onde
é o torque,
é o momento de inércia do aro, e
é a aceleração angular.
O torque causado pela tensão é:
(2)
Onde é o raio do aro.
Onde
O momento de inércia (
) de um aro é dado por:
(3)
Além disso, a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
) estão relacionadas pela equação:
(4)
Passo 4
Agora, vamos substituir as equações para encontrar a tensão
.
Primeiro, da equação (4):
Substituindo na equação (2):
(5)
Agora, substituindo
na equação (1):
Finalmente, substituindo
em
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Dados:
- Massa
-
Substituindo na fórmula da tensão:
Resposta
a) A tensão no fio enquanto o iô-iô desce desenrolando o fio é de 0,882 N.