Encontre o operador linear T: R^2 R^2, tal que T(1,0)=(0,-1) e T(0,1)=(1,0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre operadores lineares. O problema pede para encontrar o operador linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos precisar entender como representar um operador linear por uma matriz e como usar as imagens dos vetores da base canônica para construir essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear T(v) = A cdot v pode ser representado por uma matriz de ordem . Essa matriz atua sobre um vetor da seguinte forma:
Para encontrar a matriz , precisamos saber como transforma os vetores da base canônica e .

Passo 3

Sabemos que A = 0 & 1 -1 & 0 e . Esses resultados nos dizem como as colunas da matriz devem ser preenchidas. Especificamente:
  • A primeira coluna de é .
  • A segunda coluna de é .
Portanto, podemos escrever a matriz da seguinte maneira:

Passo 4

Para confirmar que essa matriz está correta, podemos verificar aplicando aos vetores da base canônica:
Como as transformações conferem com o que foi dado no enunciado, a matriz está correta.

Resposta

O operador linear A = 0 & 1 -1 & 0 é representado pela matriz:

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