Encontre o operador linear
, tal que
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre operadores lineares. O problema pede para encontrar o operador linear
que transforma os vetores
em
e
em
. Para isso, vamos precisar entender como representar um operador linear por uma matriz e como usar as imagens dos vetores da base canônica para construir essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear
pode ser representado por uma matriz
de ordem
. Essa matriz atua sobre um vetor
da seguinte forma:
Para encontrar a matriz
, precisamos saber como
transforma os vetores da base canônica
e
.
Passo 3
Sabemos que
e
. Esses resultados nos dizem como as colunas da matriz
devem ser preenchidas. Especificamente:
- A primeira coluna de
é . - A segunda coluna de
é .
Portanto, podemos escrever a matriz
da seguinte maneira:
Passo 4
Para confirmar que essa matriz está correta, podemos verificar aplicando
aos vetores da base canônica:
Como as transformações conferem com o que foi dado no enunciado, a matriz está correta.
Resposta
O operador linear
é representado pela matriz: