Demonstre que:
c) Sejam
subconjuntos do conjunto universo
. Suponha que
e
. Prove que
e
.
c) Sejam
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que vamos usar para resolver. A gente tem quatro subconjuntos $ X_{1}, X_{2}, Y_{1} $ e $ Y_{2} $ dentro de um conjunto maior $ U $. As condições dadas são:
- A união de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ dá todo o universo $ U $, ou seja, $ X_{1} \cup X_{2} = U $.
- A interseção de $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ é vazia, ou seja, $ Y_{1} \cap Y_{2} = \emptyset $.
- $ X_{1} $ está contido em $ Y_{1} $ ($ X_{1} \subset Y_{1} $) e $ X_{2} $ está contido em $ Y_{2} $ ($ X_{2} \subset Y_{2} $).
Vamos precisar usar conceitos de conjuntos, como união, interseção e inclusão, para provar que $ X_{1} $ é igual a $ Y_{1} $ e $ X_{2} $ é igual a $ Y_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa $ X_{1} \subset Y_{1} $. Isso quer dizer que todo elemento de $ X_{1} $ também está em $ Y_{1} $. Mas queremos mostrar que $ X_{1} $ é exatamente igual a $ Y_{1} $, ou seja, não tem nenhum elemento extra em $ Y_{1} $.
Passo 3
Sabemos que a união de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ cobre todo o universo $ U $. Isso quer dizer que qualquer elemento em $ U $ está em pelo menos um dos conjuntos $ X_{1} $ ou $ X_{2} $.
Passo 4
Também sabemos que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ não têm elementos em comum ($ Y_{1} \cap Y_{2} = \emptyset $). Isso significa que nenhum elemento está simultaneamente em $ Y_{1} $ e em $ Y_{2} $.
Passo 5
Como $ X_{1} \subset Y_{1} $ e $ X_{2} \subset Y_{2} $, e a união de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ é $ U $, podemos concluir que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ também cobrem todo o universo $ U $. Se houvesse algum elemento em $ Y_{1} $ que não está em $ X_{1} $, ele precisaria estar em $ X_{2} $, mas $ X_{2} \subset Y_{2} $, e $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ não se intersectam. Logo, não pode haver elementos extras em $ Y_{1} $.
Passo 6
Portanto, como $ X_{1} \subset Y_{1} $ e não há elementos extras em $ Y_{1} $, concluímos que $ X_{1} = Y_{1} $. De forma similar, seguindo os mesmos passos, mostramos que $ X_{2} = Y_{2} $.
Resposta
$ X_{1} = Y_{1} $ e $ X_{2} = Y_{2} $.