Prove que:
b) A subset C e B subset C Rightarrow(A cap B) subset C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se dois conjuntos, $ A $ e $ B $, estão dentro de outro conjunto $ C $, então a interseção deles, $ A \cap B $, também está dentro de $ C $. A matéria aqui é Teoria dos Conjuntos, e vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que é a interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ A \subset C $. Isso quer dizer que todo elemento que está em $ A $ também está em $ C $. O mesmo vale para $ B \subset C $: todo elemento de $ B $ está em $ C $.

Passo 3

Agora, vamos pensar na interseção $ A \cap B $. Esse conjunto contém apenas os elementos que estão tanto em $ A $ quanto em $ B $. Ou seja, se um elemento $ x $ está em $ A \cap B $, então $ x $ está em $ A $ e em $ B $.

Passo 4

Como já sabemos que $ A \subset C $ e $ B \subset C $, qualquer elemento $ x $ que está em $ A $ também está em $ C $, e o mesmo para qualquer $ x $ que está em $ B $. Portanto, se $ x $ está em $ A \cap B $, ele está em $ A $ e em $ B $, o que significa que ele está em $ C $ por ambas as inclusões.

Passo 5

Assim, todo elemento $ x $ de $ A \cap B $ está em $ C $. Isso prova que $ A \cap B \subset C $.

Resposta

Portanto, $ A \subset C $ e $ B \subset C $ implicam que $ A \cap B \subset C $.

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