Demonstre as equivalências abaixo:
f) A subset B Leftrightarrow A cap B=A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equivalência: $ A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A $. Isso está dentro do assunto de Teoria dos Conjuntos, que fala sobre como conjuntos se relacionam entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que é a interseção de dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \subset B $. Isso quer dizer que todo elemento que está em $ A $ também está em $ B $. Em outras palavras, não tem nada em $ A $ que não esteja em $ B $.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é $ A \cap B = A $. A interseção $ A \cap B $ é o conjunto de todos os elementos que estão tanto em $ A $ quanto em $ B $. Se $ A \cap B $ é igual a $ A $, isso significa que todos os elementos de $ A $ estão em $ B $, porque nenhum elemento de $ A $ está faltando na interseção.

Passo 4

Vamos provar a equivalência em duas partes:
Parte 1: Se $ A \subset B $, então $ A \cap B = A $
  • Se $ A \subset B $, todo elemento de $ A $ está em $ B $.
  • Então, quando fazemos $ A \cap B $, estamos pegando todos os elementos que estão em $ A $ e também em $ B $, mas já sabemos que tudo de $ A $ está em $ B $.
  • Portanto, $ A \cap B $ vai conter exatamente os elementos de $ A $, ou seja, $ A \cap B = A $.
Parte 2: Se $ A \cap B = A $, então $ A \subset B $
  • Se $ A \cap B = A $, isso significa que todos os elementos de $ A $ estão também em $ B $, porque a interseção não falta nenhum elemento de $ A $.
  • Logo, todo elemento de $ A $ está em $ B $, o que define $ A $ como um subconjunto de $ B $, ou seja, $ A \subset B $.

Resposta

Assim, mostramos que $ A \subset B $ é equivalente a $ A \cap B = A $.

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