Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x -2(x^2-1)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite de quando se aproxima de -2 é igual a 3. Isso está dentro do tópico de limites usando a definição de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essas duas variáveis para garantir que a função se aproxime do valor esperado quando está perto de -2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite usando limx to a f(x) = L e . Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos provar que para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos simplificar |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| :
|(x - 2)(x + 2)| < varepsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Agora, precisamos controlar |x - 2| = |x + 2 - 4| <= |x + 2| + 4 < 1 + 4 = 5 . Para facilitar, vamos impor que . Isso significa que está dentro do intervalo (-3, -1). Com isso, podemos estimar :
Então, .

Passo 5

Voltando à nossa inequação original:
|(x - 2)(x + 2)| < 5 |x + 2| < varepsilon
Para garantir que |x + 2| < varepsilon5 , basta que:
de
Então, podemos escolher como o mínimo entre 1 e :
Isso garante que tanto quanto serão verdadeiros.

Resposta

Portanto, para todo , escolhendo , garantimos que .

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