Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite de quando se aproxima de -2 é igual a 3. Isso está dentro do tópico de limites usando a definição de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essas duas variáveis para garantir que a função se aproxime do valor esperado quando está perto de -2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite usando e . Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos provar que para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos simplificar :
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Agora, precisamos controlar . Para facilitar, vamos impor que . Isso significa que está dentro do intervalo (-3, -1). Com isso, podemos estimar :
Então, .

Passo 5

Voltando à nossa inequação original:
Para garantir que , basta que:
Então, podemos escolher como o mínimo entre 1 e :
Isso garante que tanto quanto serão verdadeiros.

Resposta

Portanto, para todo , escolhendo , garantimos que .

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