Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 1. Isso tudo usando a definição de limite com e . Ou seja, vamos mostrar que para qualquer , a gente consegue achar um que faz com que, se estiver perto de 2 (menos que de distância), então estará bem perto de 1 (menos que ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Diz que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Vamos aplicar isso.

Passo 3

Vamos começar calculando :
Isso pode ser simplificado:
Como o quadrado de qualquer número é não negativo, temos:

Passo 4

Queremos que . Para isso, vamos resolver para :
Então, podemos escolher . Assim, se , então:

Resposta

Portanto, para qualquer , se escolhermos , garantimos que implica . Assim, demonstramos que:

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