Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 2(x^2-4 x+5)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 1. Isso tudo usando a definição de limite com e . Ou seja, vamos mostrar que para qualquer , a gente consegue achar um que faz com que, se estiver perto de 2 (menos que de distância), então estará bem perto de 1 (menos que ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando limx to a f(x) = L e . Diz que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Vamos aplicar isso.

Passo 3

Vamos começar calculando |x^2 - 4x + 5 - 1| = |x^2 - 4x + 4| :
|x^2 - 4x + 4| = |(x - 2)^2|
Isso pode ser simplificado:
|(x - 2)^2| = (x - 2)^2
Como o quadrado de qualquer número é não negativo, temos:

Passo 4

Queremos que (x - 2)^2 < varepsilon implies |x - 2| < raizvarepsilon . Para isso, vamos resolver para |f(x) - 1| = (x - 2)^2 < (raizvarepsilon)^2 = varepsilon :
Então, podemos escolher . Assim, se , então:

Resposta

Portanto, para qualquer limx to 2 (x^2 - 4x + 5) = 1 , se escolhermos , garantimos que implica . Assim, demonstramos que:

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