Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício pede: a gente precisa provar que o limite de uma função constante quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite - . Vamos precisar entender essa definição e como aplicá-la para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite - . Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Basicamente, isso quer dizer que podemos deixar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função constante . Queremos mostrar que . Segundo a definição, precisamos provar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos analisar a expressão . Isso dá . Então, nossa condição fica . Como é sempre positivo, essa desigualdade será sempre verdadeira, não importa o valor de que escolhermos. Isso significa que podemos escolher qualquer .

Passo 5

Escolhemos, por exemplo, . Assim, sempre que , temos . Isso satisfaz a definição de limite - , já que conseguimos garantir que fica menor que qualquer positivo.

Resposta

Portanto, mostramos que usando a definição - de limite.

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