Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais impróprias, que geralmente envolvem funções que têm comportamentos problemáticos, como descontinuidades ou intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada dessa função e verificar se a integral converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando o integrando (a função que estamos integrando) tem descontinuidades no intervalo de integração ou quando os limites de integração vão ao infinito. No nosso caso, a função
tem uma descontinuidade em
, porque o denominador se torna zero nesse ponto, o que faz com que a função tenda ao infinito.
Passo 3
Para calcular essa integral imprópria, vamos precisar definir os limites de integração próximos ao ponto de descontinuidade
. Vamos supor que queremos calcular a integral de
até
, onde
. Assim, a integral
será dividida em duas partes:
Como
é um ponto de descontinuidade, vamos calcular cada parte usando limites.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a antiderivada da função
. Lembrando que:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 5
Vamos agora avaliar os limites da integral para determinar se ela converge. Primeiro, para a parte de
até
:
Como
se aproxima de
pela esquerda,
se aproxima de
por valores negativos, fazendo
tender a
. Portanto, essa parte da integral diverge.
Similarmente, para a parte de
até
:
Aqui, conforme
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de
por valores positivos, fazendo
tender a
. Essa parte também diverge.
Resposta
A integral imprópria
não converge; ela diverge para infinito.