Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com **cálculo de integrais impróprias**, que geralmente envolvem funções que têm comportamentos problemáticos, como descontinuidades ou intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada dessa função e verificar se a integral converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma **integral imprópria**. Uma integral é considerada imprópria quando o integrando (a função que estamos integrando) tem descontinuidades no intervalo de integração ou quando os limites de integração vão ao infinito. No nosso caso, a função tem uma descontinuidade em , porque o denominador se torna zero nesse ponto, o que faz com que a função tenda ao infinito.
Passo 3
Para calcular essa integral imprópria, vamos precisar definir os limites de integração próximos ao ponto de descontinuidade . Vamos supor que queremos calcular a integral de até , onde . Assim, a integral será dividida em duas partes:
Como é um ponto de descontinuidade, vamos calcular cada parte usando limites.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a **antiderivada** da função . Lembrando que:
No nosso caso, e . Então:
Passo 5
Vamos agora avaliar os limites da integral para determinar se ela **converge**. Primeiro, para a parte de até :
Como se aproxima de pela esquerda, se aproxima de por valores negativos, fazendo tender a . Portanto, essa parte da integral diverge.
Similarmente, para a parte de até :
Aqui, conforme se aproxima de pela direita, se aproxima de por valores positivos, fazendo tender a . Essa parte também diverge.
Resposta
A integral imprópria **não converge**; ela diverge para infinito.
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Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Calcule a área das regiões determinadas por:
e
Suponha que e sejam séries com termos positivos e que seja convergente.
Se $a_{n}
Demonstre que o conjunto , descrito abaixo, é ortogonal no intervalo :
para
Obs.: Analise os casos para e .