Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral 3 d x(x-1) 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais impróprias, que geralmente envolvem funções que têm comportamentos problemáticos, como descontinuidades ou intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada dessa função e verificar se a integral converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando o integrando (a função que estamos integrando) tem descontinuidades no intervalo de integração ou quando os limites de integração vão ao infinito. No nosso caso, a função tem uma descontinuidade em , porque o denominador se torna zero nesse ponto, o que faz com que a função tenda ao infinito.

Passo 3

Para calcular essa integral imprópria, vamos precisar definir os limites de integração próximos ao ponto de descontinuidade integrala^1 3(x-1)^2 , dx e integral1^b 3(x-1)^2 , dx . Vamos supor que queremos calcular a integral de até , onde . Assim, a integral será dividida em duas partes:
Como é um ponto de descontinuidade, vamos calcular cada parte usando limites.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada da função integral (x - a)^n , dx = (x - a)^n+1n+1 + C para n neq -1 . Lembrando que:
integral 3(x-1)^2 , dx = 3 integral (x - 1)^-2 , dx = 3 cdot (x - 1)^-1-1 + C = -3x - 1 + C
No nosso caso, e . Então:

Passo 5

Vamos agora avaliar os limites da integral para determinar se ela converge. Primeiro, para a parte de limt to 1^- integrala^t 3(x-1)^2 , dx = limt to 1^- [-3x - 1]a^t = limt to 1^- (-3t - 1 + 3a - 1) até limt to 1^+ integralt^b 3(x-1)^2 , dx = limt to 1^+ [-3x - 1]t^b = limt to 1^+ (-3b - 1 + 3t - 1) :
Como se aproxima de pela esquerda, se aproxima de por valores negativos, fazendo tender a . Portanto, essa parte da integral diverge.
Similarmente, para a parte de até :
Aqui, conforme se aproxima de pela direita, se aproxima de por valores positivos, fazendo tender a . Essa parte também diverge.

Resposta

A integral imprópria não converge; ela diverge para infinito.

Exercícios relacionados